Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\].

1. Tập xác định: D = \[\mathbb{R}\] \ {1}.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm \[y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]. Ta có y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (0; 1) và (1; 2), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yCT = 6.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = 2.

Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \]

Ta có: \[a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\] và \[b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = 3\]. Suy ra đường thẳng y = x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \]. Suy ra đường thẳng  x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ x2 + 2x – 2 = 0 ⇔ \[x =  - 1 + \sqrt 3 \]hoặc \[x =  - 1 - \sqrt 3 \].

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (\[ - 1 + \sqrt 3 \];0) và điểm (\[ - 1 - \sqrt 3 \];0).

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 2).

Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình vẽ.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 4).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 3.