Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = a,BC = 2a\).

a) \(\widehat {ACB} = 60^\circ \).

b) \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = {a^2}\).

c) \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  = 3{a^2}.\)

d) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - 4{a^2}\).

a) Sai. Xét tam giác vuông \(ABC\) có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 \),

\(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 30^\circ \).

b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = a \cdot 2a \cdot \frac{1}{2} = {a^2}\).

c) Sai. Ta có \(\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \overrightarrow {CB}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\cos \widehat {ACB}\)

                    \( =  - CB \cdot CA \cdot \cos 30^\circ  =  - 2a \cdot a\sqrt 3  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} =  - 3{a^2}.\)

d) Đúng. Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  =  - {a^2},\overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  =  - 3{a^2}\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BC}  \cdot \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CA}  \cdot \overrightarrow {AB}  =  - {a^2} - 3{a^2} =  - 4{a^2}\).