Một mảnh vườn hình vuông có độ dài cạnh bằng \(x\) (mét). Người ta làm đường đi xung quanh mảnh vườn, có độ rộng như nhau và bằng \(y\) (mét).

         a) Diện tích của cả mảnh vườn là \({x^2}\) (m2).

         b) Diện tích phần đất không làm lối đi là \({y^2}\) (m2).

         c) Diện tích phần đất làm đường đi là \(S = {x^2} - 2{y^2}\) (m2).

         d) Diện tích phần đất làm đường lớn hơn 2 000 m2 khi \(x = 48{\rm{ m}}{\rm{, }}y = 2{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: 0

Ta có: \({a^3} + {b^3} + 8 = 6ab\)

\({a^3} + {b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 8 = 6ab + 3{a^2}b + 3a{b^2}\)

\({\left( {a + b} \right)^3} + {2^3} = 3ab\left( {a + b + 2} \right)\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2\left( {a + b} \right) + 4} \right] = 3ab\left( {2 + a + b} \right)\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 2\left( {a + b} \right) + 4 - 3ab} \right] = 0\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{a^2} + 2ab + {b^2} - 2a - 2b + 4 - 3ab} \right] = 0\)

\(\left( {a + b + 2} \right)\left[ {{a^2} - ab + {b^2} - 2a - 2b + 4} \right] = 0\)

TH1: \(a + b + 2 = 0\) nên \(a + b =  - 2\) (loại do \(a,b > 0\)).

TH2: \({a^2} - ab + {b^2} - 2a - 2b + 4 = 0\)

         \(2\left( {{a^2} - ab + {b^2} + {a^2} - 2a - 2b + 4} \right) = 0\)

         \(2{a^2} - 2ab + 2{b^2} - 4a - 4b + 8 = 0\)

         \({a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 4b + 4 = 0\)

         \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 0\)

Suy ra \(a = b = 2.\)

Vậy \(a - b = 2 - 2 = 0.\)

a) Đúng

Chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật này là  \(\frac{1}{2}.20 = 10\) (m).

Diện tích của thửa ruộng hình chữ nhật đó là: \(10 \cdot 20 = 200\) (m2).

b) Đúng

Chiều dài của thửa ruộng sau khi giảm  \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) là \(20 - x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Chiều rộng của thửa ruộng sau khi tăng \(x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\) là \(10 + x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Do đó, diện tích của thửa ruộng sau khi thay đổi chiều dài, chiều rộng là \(\left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right){\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

c) Đúng

Nhận thấy, \(S = \left( {20 - x} \right)\left( {10 + x} \right) =  - {x^2} + 10x + 200 =  - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225\).

Nhận thấy \( - {\left( {x - 5} \right)^2} + 225 \le 225\) với mọi \(x\) hay giá trị lớn nhất của \(S = 225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\)

d) Sai

Từ trên, nhận thấy diện tích thửa ruộng đạt giá trị lớn nhất bằng \(225{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\) khi \( - {\left( {x - 5} \right)^2} = 0\).

Suy ra \(x = 5.\)