Cho biểu thức \(C = \frac{{{x^3} + {x^2} - 2x}}{{x\left( {x + 2} \right) - {x^2} + 4}}\).

         a) Điều kiện xác định của \(C\) là \(x \ne 2,x \ne  - 2\).

         b) Rút gọn được \(C = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\).

         c) Giá trị của biểu thức \(C\) tại \(x = \frac{1}{2}\) là \( - \frac{1}{8}.\)

         d) Biểu thức \(C\)có giá trị nguyên khi \(x \in \mathbb{Z}\).

a) Sai

Điều kiện xác định của \(C\) là \(x\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 4 \ne 0\) hay \(x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0\).

Suy ra \(\left( {x - x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) \ne 0\) hay \(2\left( {x + 2} \right) \ne 0\). Do đó, \(x \ne  - 2\)

b) Đúng

Ta có: \(C = \frac{{{x^3} + {x^2} - 2x}}{{x\left( {x + 2} \right) - {x^2} + 4}} = \frac{{x\left( {{x^2} + x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

                                            \( = \frac{{x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x + 2} \right)}}\)

                                            \( = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\).

c) Đúng

Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào \(C = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\), ta được: \( = \frac{{\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)}}{2} =  - \frac{1}{8}\).

d) Đúng

Nhận thấy \(x\left( {x - 1} \right)\) với \(x \in \mathbb{Z}\) là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Do đó, \(x\left( {x - 1} \right) \vdots 2\) nên \(C = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{2}\) là số nguyên.

Vì vậy biểu thức \(C\)có giá trị nguyên khi \(x \in \mathbb{Z}\).