Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB \bot \left( {BCD} \right)\), \(AB = 4\), tam giác \(BCD\) đều cạnh 3, \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\), điểm \(M\) là trung điểm \(CD\). Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \), \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b \), \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow c \).

a) \(\overrightarrow {AM}  \cdot \,\overrightarrow {MC}  = 0\).

b) \(\left| {\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = 10\).

c) \(\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\).

d) \(AG = \frac{{14}}{3}\).

Lời giải

a) Đúng. \(AB \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BC \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 5\), tương tự \(AD = 5\).

\(M\) là trung điểm \(CD\)\( \Rightarrow AM \bot MC\) (do \(\Delta ACD\) cân tại \(A\))\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {MC}  = 0\).

b) Sai. Ta có \(\left| {\overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 5\).

c) Đúng. Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\)\( \Rightarrow \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \) .

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GD} \)

\( = 3\overrightarrow {AG}  + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow 0  = 3\overrightarrow {AG} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\).

d) Sai. Từ đẳng thức \(\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\), ta suy ra\(AG < \frac{1}{3}\left( {\left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right| + \left| {\vec c} \right|} \right) = \frac{1}{3}\left( {4 + 5 + 5} \right) = \frac{{14}}{3}\).

Ngoài ra, ta có thể tính \(AG\) bằng định lý Pythagore.

Ta có \(BG = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \). Khi đó, \(AG = \sqrt {B{G^2} + A{B^2}}  = \sqrt {19}  < \frac{{14}}{3}\).