Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\) để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Diện tích của đáy hộp là: \(S = \frac{V}{h} = \frac{{96.000}}{{60}} = 1600c{m^2} = 0,16{m^2}\)

Gọi chiều dài cạnh đáy của hộp là \(x,\left( {x > 0,m} \right)\)

Chiều rộng của hộp là \(\frac{{0,16}}{x}\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm chi phí để làm để cá.

Chi phí để hoàn thành bể cá:

\[\begin{array}{l}F\left( x \right) = 0,16 \times 100.000 + 2.0,6x.70.000 + 2.0,6.\frac{{0,16}}{x}.70.000\\ = 16.000 + 48.000x + \frac{{13440}}{x}\end{array}\]

Câu toán trở thành tìm x để F đạt GTNN.

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = 84.000 - \frac{{13440}}{{{x^2}}}\\F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 84.000 - \frac{{13440}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là: 83.200 đồng.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} + 3m\left( {m + 4} \right)x + 5\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 3m\left( {m + 4} \right) = 3\left[ {{x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x + m\left( {m + 4} \right)} \right]\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 4.\end{array} \right.\)

Để hàm số \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) thì ta có \(3\) trường hợp

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ge 0\\3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 9m \ge 0\\m \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3\).

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { - 8;8} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \le 0\\m \le 1 < 3 \le m + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 9m \le 0\\ - 1 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le 0\\ - 1 \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 0\).

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { - 8;8} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).

Trường hợp 3: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \ge 0\\m + 4 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} + 9m \ge 0\\m \le  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3\).

Vì \(m\)nguyên và \(m \in \left[ { - 8;8} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3} \right\}\).

Có tất cả \(14\) giá trị nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 8;8} \right]\) thoả mãn yêu cầu bài toán.