Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2024;2024} \right]\) để hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

a) Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \((1; + \infty ).\)

b) Giá trị cực đại là y = 3, giá trị cực tiểu là y = –1. Do đó tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \(3 - 1 = 2.\)

c) Hàm số  \(y = f(x)\)có hai cực trị là \(x =  \pm 1.\)

d) Gọi \[d:y = {\rm{ax}} + b\] là đường thẳng qua hai điểm cực trị \[A( - 1;3),B(1; - 1).\]

\[A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\a + b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow d:y =  - 2x + 1\]

a) Đúng:  Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\). Do \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right) = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nên hàm số luôn có hai điểm cực trị.

b) Đúng: Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\). Do \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right) = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - m\) và \({x_2} =  - m - 2\).

Hàm   số luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { - m - 2; - m} \right)\).

Ta có: \( - m - ( - m - 2) = 2\) 

c) Đúng: Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra không tồn tại giá trị của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Sai: Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l} - m - 2 \le  - 1\\ - m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)