Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\) có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Hàm số \(y = f(x)\)đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;3).\)

b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f(x)\) là 2.

c) Hàm số \(y = f(x)\)có hai cực trị trái dấu.

d) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là \[d:y = - 3x\]

a) Đúng:  Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\). Do \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right) = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nên hàm số luôn có hai điểm cực trị.

b) Đúng: Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\). Do \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right) = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - m\) và \({x_2} =  - m - 2\).

Hàm   số luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { - m - 2; - m} \right)\).

Ta có: \( - m - ( - m - 2) = 2\) 

c) Đúng: Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra không tồn tại giá trị của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Sai: Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l} - m - 2 \le  - 1\\ - m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)

Ta có : \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x =  - 4\\x = 2\end{array} \right.\]

Xét \[u\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 8x + 6\]có \[u'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 8 > 0\forall x \in \mathbb{R}\]

Do đó số điểm của trị của hàm số \[g\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 3{x^2} + 8x + 6} \right| + m} \right)\] bằng số điểm của trị của hàm số: \[h\left( x \right) = \left( {\left| x \right| + m} \right)\].

Ta có : \(h'\left( x \right) = \frac{x}{{\left| x \right|}}f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) Xét \(\left( 1 \right):x = 0\) làm cho \(h'\left( x \right)\) đổi dấu và xác định với \[y = f\left( x \right)\] nên \(x = 0\)là 1 điểm cực trị.

+) Xét \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| + m = 6\\\left| x \right| + m =  - 4\\\left| x \right| + m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| - 6 =  - m\\\left| x \right| - 2 =  - m\\\left| x \right| + 4 =  - m\end{array} \right.\left( * \right)\)

Để hàm số \[h\left( x \right)\]có ít nhất 3 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \left( * \right)\]có ít nhất 2 nghiệm đơn. Biểu diễn vế trái của \[\left( * \right)\] trên cùng một hệ trục tọa độ ta có: \( - m >  - 6 \Leftrightarrow m < 6\). Mà \(m\)nguyên dương nên có 5 giá trị \(m\)thỏa mãn ycbt.