Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) là:

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

Xét \({f^2}\left( x \right) - 4f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 4\end{array} \right.\).

- Xét \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} <  - 1\) và \({x_2} = 1\) là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] tiếp xúc với trục hoành tại \(x = 1\)). Trường hợp này đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 đường tiệm cận đứng.

- Xét \(f\left( x \right) = 4\) có 2 nghiệm \({x_3} > 1\) và \({x_4} =  - 1\) là nghiệm bội 2 (do đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại \(x =  - 1\)). Trường hợp này đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) có 2 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 4 tiệm cận đứng.

Đáp án: 4