Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\left( {ad - bc \ne 0;ac \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2}}\] có đúng hai đường tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \[f\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 2 = 0\] có đúng 2 nghiệm phân biệt khác 1\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - 2} \right) > 0\\1 + 2\left( {m - 1} \right) + {m^2} - 2 \ne 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 3 > 0\\{m^2} + 2m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m \ne 1\\m \ne  - 3\end{array} \right.\].

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 2025;2025} \right]\end{array} \right.\) nên \(m \in \left\{ { - 2025, - 2024..., - 4, - 2, - 1,0} \right\}\)

Vậy có 2025 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án: 2025

a) Sai

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = 4;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 2\]. Vậy đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.

b) Đúng

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty \]. Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \[y = 6\]

c) Sai

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang \[y = 6\]. Vậy tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho là \[1\].

d) Sai

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = \frac{1}{8};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{f(x) + 2}} = 0\].

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{f(x) + 2}}\] có hai đường tiệm cận ngang là \[y = \frac{1}{8}\] và \[y = 0\].