Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2} \right\}\]. Hàm số \[f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Xét tính đúng – sai của các phát biểu sau:

a) Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]là đường thẳng \(y = 10\).

b) Một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]là đường thẳng \(x =  - 3\).

c) Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]là 3.

d) Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\] là 4.

Xét hàm số \[y = f\left( x \right)\].Từ bảng biến thiên ta có:

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  + \infty \], \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = 10\]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có một tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 10\).

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) =  - 3\],\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x =  - 2\).

+) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) =  + \infty \],\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) =  - \infty \]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\]có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\).

Từ đó: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng.

Xét hàm số\[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\].Đặt \[g\left( x \right) = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\], ta có hàm số xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 2;a} \right\}\], trong đó \[f\left( a \right) =  - 3\] và \[a \in \left( {2; + \infty } \right)\]. Khi đó ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) + 6}} = 0\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) + 6}} = \frac{1}{{26}}\] nên \[y = 0\] và \[y = \frac{1}{{26}}\] là hai đường tiệm cận ngang.

Mặt khác ta có

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) + 6}} =  + \infty  \Rightarrow x =  - 2\] là tiệm cận đứng;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ \pm }} f\left( x \right) + 6}} = 0 \Rightarrow x = 2\] không là tiệm cận đứng;

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} g\left( x \right) = \frac{1}{{2\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) + 6}} =  + \infty  \Rightarrow x = a\] là tiệm cận đứng;

Vậy đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{{2f\left( x \right) + 6}}\] có \[4\] đường tiệm cận.

Từ đó: d) Đúng.