Cho đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] với tham số \[m\]. Xét tính đúng – sai của các phát biểu sau:

a) Với mọi \(m\) đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] không tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

b) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có 1 tiệm cận ngang là \[y = 0\].

c) Với \(m =  - 1\) thì đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có \(2\) đường tiệm cận đứng.

d) Có ba giá trị của \(m\) đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có đúng hai đường tiệm cận.

+) Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}} = 0\] nên đồ thị hàm số         luôn có 1 tiệm cận ngang là \[y = 0\]với mọi \(m\)

Từ đó: a) Sai; b) Đúng.

+) Với \(m =  - 1\) thì đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x - 2}}\].

Xét \({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\). Vì \(x = 1\)cũng là nghiệm của tử thức nên đồ thị hàm số \(y\) chỉ nhận \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng. Nên mệnh đề c) Sai.

+) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có 1 tiệm cận ngang là \[y = 0\].

Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có đúng hai đường tiệm cận.

\( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số \[y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3}}\] có đúng 1 tiệm cận đứng.

\( \Leftrightarrow \)Phương trình \[{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\] có nghiệm kép hoặc phương trình \[{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 3 = 0\] có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1.

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta  = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta  > 0}\\{1 - \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) = 0}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {2m + 1} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) > 0}\\{{m^2} - 2m - 3 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - \frac{{13}}{4}}\\\begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\end{array}\end{array}} \right.\].

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Nên mệnh đề d) Đúng.