Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ {3;7} \right]\). Tính giá trị của \({M^2} + m\).

Đáp án: \(2\sqrt {17} \)

Xét hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

Điều kiện: \(x \ne  - 2\)

Ta có: \(y' = \frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)     \(\left( {x \ne  - 2} \right)\)

Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow 2{x^2} + 8x + 6 = 0\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 \Rightarrow y = 1}\\{\,\,\,x =  - 3 \Rightarrow y =  - 7}\end{array}} \right.\)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( { - 3; - 7} \right)\)\( \Rightarrow AB = 2\sqrt {17} \)

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1 - a}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}},\,\forall x \ne 1\). Từ đồ thị của hàm số suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định vì vậy \(y' > 0,\,\forall x \ne 1\).