Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm \[f'\left( x \right)\] như hình bên dưới.

Xét tính đúng sau của các mệnh đề sau:

a. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

b. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

c. Hàm số đã cho có \(2\) điểm cực trị.

d. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm \[x = 0\].

Đáp án: \(2\sqrt {17} \)

Xét hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

Điều kiện: \(x \ne  - 2\)

Ta có: \(y' = \frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)     \(\left( {x \ne  - 2} \right)\)

Cho \(y' = 0\)\( \Rightarrow 2{x^2} + 8x + 6 = 0\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1 \Rightarrow y = 1}\\{\,\,\,x =  - 3 \Rightarrow y =  - 7}\end{array}} \right.\)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị \(A\left( { - 1;1} \right)\) và \(B\left( { - 3; - 7} \right)\)\( \Rightarrow AB = 2\sqrt {17} \)

Đáp án: 10

Thể tích của hộp sữa là: \[V = {x^2}h\,\,\left( {c{m^3}} \right)\].

Theo bài ra, ta có: \[V = 1\left( l \right) = 1000\,\,\left( {c{m^3}} \right) \Rightarrow {x^2}h = 1000 \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\].

Ta có diện tích toàn phần của hộp sữa là: \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 4hx + 2{x^2} = 4.\frac{{1000}}{{{x^2}}}.x + 2{x^2} = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}\]

Đặt \[y = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x} \Rightarrow y' = 4x - \frac{{4000}}{{{x^2}}}\].

Xét \[y' = 0 \Leftrightarrow 4x - \frac{{4000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4000 = 0 \Leftrightarrow x = 10\].

Ta có bảng biến thiên:

Vậy để hộp sữa có diện tích toàn phần nhỏ nhất thì \[x = 10\].