Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{3x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn\(\left[ {0;\;2} \right]\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)

b. \(M = \mathop {{\rm{max}}y}\limits_{\left[ {0;\;2} \right]}  = f\left( 1 \right) = \frac{1}{3}\)

c. \(m = \mathop {{\rm{min}}y}\limits_{\left[ {0;\;2} \right]}  = f\left( 2 \right) =  - 5\)

d. \(P = M.m =  - \frac{5}{3}.\)

Đáp án: 5

Giả sử hàm số có đồ thị là \((C)\). Ta có :

+)    \[y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = x + \frac{1}{{x - 1}}\].

+)   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {f\left( x \right) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{1}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{\frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = 0 \Rightarrow \left( C \right)\) có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\).

Suy ra :  \(a = 1;\,\,\,b = 0\,\, \Rightarrow P = 5a + 2024b = 5.1 + 2024.0 = 5.\)

a) Đúng.

Vì dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

b) Sai.

Vì dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).

c) Đúng.

Theo đồ thị ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = 0\)và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) =  - 4\).

d) Sai.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - x} \right)\) . Vì \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(g\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:

Ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {3 - x} \right)'f'\left( {3 - x} \right) =  - f'\left( {3 - x} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - f'\left( {3 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - x = 0}\\{3 - x = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Từ bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) suy ra được bảng xét dấu của \(g'\left( x \right)\)

          Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) không nghịch biến trên \(\left( {2;5} \right)\).