Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{\left( {x - m - 1} \right)^2} + 2019\), với \(m\) là tham số thực. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 6} \right)\). Tính tổng tất cả các phần tử trong \(S\) bằng

Trả lời : 14

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - m} \right) - \frac{1}{2}{\left( {x - m - 1} \right)^2} + 2019\)

\(g'\left( x \right) = f'\left( {x - m} \right) - \left( {x - m - 1} \right)\)

Xét phương trình \(g'\left( x \right) = 0\left( 1 \right)\)

Đặt \(x - m = t\), phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(f'\left( t \right) - \left( {t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = t - 1\left( 2 \right)\)

Nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = t - 1\)

Ta có đồ thị các hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = t - 1\) như sau:

Căn cứ đồ thị các hàm số ta có phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm là: \(\left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 1\\t = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m - 1\\x = m + 1\\x = m + 3\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên của \(y = g\left( x \right)\)

Để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5;{\kern 1pt} {\kern 1pt} 6} \right)\) cần \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m - 1 \le 5\\m + 1 \ge 6\end{array} \right.\\m + 3 \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 \le m \le 6\\m \le 2\end{array} \right.\)

Vì \(m \in \mathbb{N}* \Rightarrow m\) nhận các giá trị \(1;\,2;\,5;\,6 \Rightarrow S = 14\).