Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;3;4} \right),\,\,B\left( {1;0; - 2} \right)\) và \(C\left( {4;0;1} \right).\) Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác ABC là 

ĐS: \(3,74\).

Ta có: \[{\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2}\]\( \Rightarrow 2\vec a\vec b = {\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} - {\left| {\vec a} \right|^2} - {\left| {\vec b} \right|^2} = 11\).

\[{\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\vec a - \vec b} \right)^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} - 2\vec a\vec b + {\left| {\vec b} \right|^2} = 9 - 11 + 16 = 14\]\( \Rightarrow \left| {\vec a - \vec b} \right| = \sqrt {14}  \approx 3,74\).

A) Sai                B) Sai                               C) Đúng                  D) Đúng

Từ giả thiết, ta có \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b ;\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {DAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }};\,\,\,\cos \left( {\overrightarrow b ,\overrightarrow c } \right) = \cos \widehat {BAC'} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)

A) Giả sử \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow d \). Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow d  \ne \overrightarrow {AC'} \) .

Suy ra \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \ne \overrightarrow c \).

B) \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 10\sqrt 2 \) (đường chéo hình vuông cạnh bằng 10).

C) Ta có

\( \bullet \,{(\overrightarrow a  + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\,\overrightarrow a .\,\overrightarrow {c\,}  + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

\( \bullet \,{(\overrightarrow b  + \overrightarrow c )^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\,\overrightarrow b .\,\overrightarrow {c\,}  + {\left| {\overrightarrow c } \right|^2} = {10^2} + 2.10.10.\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} = 600\)

Suy ra \(\left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| = \sqrt {600} \)

Vậy \[\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow c } \right| = \left| {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right|.\]ĐÚNG.

D) Giả sử lực tổng hợp là \[\overrightarrow m \], tức là \[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c .\] Do đó

\[\overrightarrow m  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  + 2\overrightarrow c .\overrightarrow a \]

\[ \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow m } \right|^2} = {10^2} + {10^2} + {\left( {10\sqrt 3 } \right)^2} + 0 + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 2.10.10\sqrt 3 .\frac{1}{{\sqrt 3 }} = 900\]

\[ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow m } \right| = 30\]

Vậy cường độ hợp lực của \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] và \[\overrightarrow c \]là \[30(N).\]