Khi \[\alpha = \frac{\pi }{6}\] thì biểu thức \[\frac{{si{n^2}2\alpha + 4si{n^4}\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha }}{{4 - {{\sin }^2}2\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha }}\] có giá trị bằng.              

Từ một vị trí \(A\), người ta buộc hai sợi cáp \(AB\) và \(AC\) đến một cái trụ cao \(15\;m\), được dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí \(D\). Biết \(CD = 9\;m\) và \(AD = 12\;m\). Tìm góc nhọn \(\alpha = \widehat {BAC}\) tạo bởi hai sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng \(\alpha \) (làm tròn đến hàng phần chục, đơn vị độ).

Một quả bóng golf kể từ lúc được đánh đến lúc chạm đất đã di chuyển được một khoảng cách \(d\left( m \right)\) theo phương nằm ngang. Biết rằng \(d = \frac{{{v_0}^2\sin 2\alpha }}{g}\) trong đó\({v_0}\left( {m/s} \right)\) là vận tốc ban đầu của quả bóng, \(g\left( {m/{s^2}} \right)\) là gia tốc trọng trường và \(\alpha \)là góc đánh quả bóng so với phương nằm ngang. Tính khoảng cách \(d\) biết rằng \({v_0} = 15\left( {m/s} \right);\)\(g = 10\left( {m/{s^2}} \right)\) và \[{\rm{cos}}\alpha = \frac{3}{5}\] với \[\left( {0 \le \alpha \le {{45}^0}} \right)\].

Cho hai góc nhọn \(a\) và \(b\). Biết \(\cos a = \frac{1}{3};\cos b = \frac{1}{4}\). Tính giá trị của biểu thức:

\(P = \cos (a + b)\cos (a - b){\rm{. }}\)

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghép bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB,BC,CD,EF,FG,GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Biết chiều rộng cổng là \(120\,{\rm{cm}}\) và khoảng cách từ \(B\) đến đường kính \(AH\) bằng \(27\,{\rm{cm}}\). Tính khoảng cách từ \(C\)đến \(AH\).

Cho \(\sin \alpha = \frac{2}{3},\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khi đó:

a) \(\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)

b) \(\tan \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

c) \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \frac{{\sqrt 5 - 2\sqrt 3 }}{6}\)

d) \(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{\sqrt {10} - 2\sqrt 2 }}{6}\)

Cho biết \(\cos x = - \frac{{12}}{{13}}\) và \(\pi < x < \frac{{3\pi }}{2}\); khi đó:

a) \(\sin x > 0\)

b) \(\sin x = - \frac{5}{{13}}\)

c) \(\cot x = \frac{5}{{12}}\)

d) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right) = \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}\)