Cho \(\Delta ABC\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec O\) khi điểm \(M\) là một đỉnh của hình bình hành \(ABCM\).

b) \(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {NB} \) khi điểm \(N\) trùng với điểm \(A\).

c) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BA} \) khi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AC\).

d) \(\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow {CD} \) khi \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(A\).

a) Ta có: \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {BM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CM} \end{array}\)

Vậy điểm \(M\) là một đỉnh của hình bình hành \(ABCM\).

b) Ta có: \(\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {NB}  \Leftrightarrow (\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {AB} ) + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {NB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {NB} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {NC}  = \vec 0\). Vậy điểm \(N\) trùng với điểm \(C\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + (\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {MB} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\). Vậy \(M\) là trung điểm của đoạn \(AC\).

d) Ta có: \(\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow (\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {BN} ) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DN} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CN}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CN} \).

Vậy \(N\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\).