Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(a\) và \(H\) là trung điểm \(BC\). Tính \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {CA} \)

Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2 và góc \(B\) bằng ${60}^{°}$. Khi đó:

a) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})={60}^{°}$

b) $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DA})={30}^{°}$

c) \(\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {DC}  = 3\)

d) \(\overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {BA}  =  - 3\)

Cho hai điểm \(A,B\) cố định có khoảng cách bằng \(a\). Tập hợp điểm \(M\) sao cho:

\(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = \frac{{3{a^2}}}{4}\) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Cho tam giác \(ABC\) có $AB=4\sqrt{2},AC=6,\widehat{BAC}={45}^{°}$. Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 20\)

b) \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

c) \(BC = 3\sqrt 5 \)

d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) và số thực \(k\). Tập hợp điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MD}  = k\) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(F\) thoả mãn \(\overrightarrow {BF}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} \) Khi đó:

a) \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

b) \(\overrightarrow {AF}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .\)

c) \(\overrightarrow {EF}  = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)

d) Tam giác \(AEF\)vuông cân.

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB\). Biết rằng \(AC\) và \(BD\) là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại \(E\). Tính \(\overrightarrow {AE}  \cdot \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BE}  \cdot \overrightarrow {BD} \) biết \(AB = 2\).