Câu hỏi:

12/10/2025 17

Cho hình vuông $ABCD$, điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AC$ sao cho $AM = \frac{{AC}}{4}$. Gọi $N$ là trung điểm $CD$. Khi đó $BMN$ là tam giác vuông cân tại đỉnh nào?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $\overrightarrow {AD} = \vec a,\overrightarrow {AB} = \vec b$.

Khi đó: $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{4}(\vec a + \vec b)$

$\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b$

$\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}( - \vec a + 3\vec b)$ và

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \vec a + \frac{1}{2}\vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}(3\vec a + \vec b)$.

Ta có: $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN} = \frac{1}{{16}}( - \vec a + 3\vec b)(3\vec a + \vec b) = \frac{1}{{16}}\left( { - 3{{\vec a}^2} + 3{{\vec b}^2} + 8\vec a \cdot \vec b} \right)$

$ = \frac{1}{{16}}\left( { - 3A{D^2} + 3A{B^2} + 0} \right) = 0 \Rightarrow MB \bot MN(1)$.

Hơn nữa: ${\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{{16}}{( - \vec a + 3\vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {{{\vec a}^2} + 9{{\vec b}^2} - 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {A{D^2} + 9A{B^2} - 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}$;

${\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{{16}}{(3\vec a + \vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {9{{\vec a}^2} + {{\vec b}^2} + 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {9A{D^2} + A{B^2} + 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}$.

Suy ra \[MB = MN\](2). Từ (1) và (2) suy ra $\Delta BMN$vuông cân tại đỉnh \[M.\]

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Lấy $E$ là trung điểm của $BC$, điểm $F$ thoả mãn $\overrightarrow {BF} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} $ Khi đó:

$Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Lấy $E$ là trung đ (ảnh 1)$

a) $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} $

b) $\overrightarrow {AF} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .$

c) $\overrightarrow {EF} = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .$

d) Tam giác $AEF$vuông cân.

Xem đáp án

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} $.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} .\\\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AF} - \overrightarrow {AE} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) - \left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow {AF} \cdot \overrightarrow {EF} = \left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)$

$ = \frac{{ - 3}}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{3}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = 0 \Rightarrow AF \bot EF{\rm{. }}$

Ta có: ${\overrightarrow {AF} ^2} = {\left( {\frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}$.

${\overrightarrow {EF} ^2} = {\left( {\frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)^2} = \frac{9}{{16}}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{3}{8}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{{16}}{\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2}.$

$ \Rightarrow A{F^2} = E{F^2} = \frac{5}{8}{\overrightarrow {AB} ^2} \Rightarrow AF = EF$. Vậy tam giác $AEF$ vuông cân tại $F$.

Chú ý: Ta có thể chứng minh tam giác $AEF$ vuông bằng định lí Pythagore.

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC,D$ là hình chiếu của $H$ trên $AC,M$ là trung điểm của $HD$. Tính $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} $

Xem đáp án

Lời giải

$Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm của $BC,D$ là hình chiếu của $H$ trên $AC,M$ là trung điểm của $HD$. Tính $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} $ (ảnh 1)$

Ta cần chứng minh: $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$. Ta có: $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HD} = \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} ;\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} )$

Do đó: $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {AD} )(\overrightarrow {HC} + \overrightarrow {HD} )$$ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} )$,

mà $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} = 0({\rm{ do }}AH \bot BC)}\\{\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HD} = 0({\rm{ do }}HD \bot AC)}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {HC} )$

$ = \frac{1}{2}[\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HD} ) \cdot \overrightarrow {HC} ]$

$ = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HD} + \underbrace {\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {HC} }_0 + \overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot (\overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HC} ) = \frac{1}{2}\overrightarrow {HD} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$.

Vậy $AM \bot DB$.

Câu 3