2. Lớp 10
  3. Toán

Câu hỏi:

12/10/2025 334 Lưu

Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \frac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\). Khi đó \(BMN\) là tam giác vuông cân tại đỉnh nào?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Tích vô hướng của hai vectơ (có lời giải) !!

Flashcard Bắt Đầu Thi In đề / Tải về

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

Đặt \(\overrightarrow {AD}  = \vec a,\overrightarrow {AB}  = \vec b\).

Khi đó: \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{4}(\vec a + \vec b)\)

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \vec a + \frac{1}{2}\vec b\)

\(\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}  = \vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}( - \vec a + 3\vec b)\) và

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}  = \vec a + \frac{1}{2}\vec b - \frac{1}{4}(\vec a + \vec b) = \frac{1}{4}(3\vec a + \vec b)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MN}  = \frac{1}{{16}}( - \vec a + 3\vec b)(3\vec a + \vec b) = \frac{1}{{16}}\left( { - 3{{\vec a}^2} + 3{{\vec b}^2} + 8\vec a \cdot \vec b} \right)\)

\( = \frac{1}{{16}}\left( { - 3A{D^2} + 3A{B^2} + 0} \right) = 0 \Rightarrow MB \bot MN(1)\).

Hơn nữa: \({\overrightarrow {MB} ^2} = \frac{1}{{16}}{( - \vec a + 3\vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {{{\vec a}^2} + 9{{\vec b}^2} - 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {A{D^2} + 9A{B^2} - 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\);

\({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{1}{{16}}{(3\vec a + \vec b)^2} = \frac{1}{{16}}\left( {9{{\vec a}^2} + {{\vec b}^2} + 6\vec a \cdot \vec b} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {9A{D^2} + A{B^2} + 0} \right) = \frac{5}{8}A{B^2}\).

Suy ra \[MB = MN\](2). Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta BMN\)vuông cân tại đỉnh \[M.\]\(\)

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:
  1. Combo 3 khóa học Toán - Văn - Anh lớp 1-12 chỉ với 250k
  2. Phòng luyện 1000 đề VIP Đgnl các trường ĐHQGHN, Tp.HCM, Bách Khoa, tốt nghiệp THPT chỉ với 399k
  3. Mã giảm giá 20% sản phẩm sách VietJack trên Shopee mall
Avatar

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác \(ABC\) có AB=42,AC=6,BAC^=45°. Gọi \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BC\). Điểm \(E\) thoả mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AC} (k \in \mathbb{R})\) (Hình). Khi đó:

Cho tam giác \(ABC\) có có \(AB = 4\sqrt 2 ,AC = 6,\widehat {BAC (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 20\)

b) \(\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

c) \(BC = 3\sqrt 5 \)

d) \(AD \bot BE\) khi \(k = \frac{{14}}{{15}}\).

Lời giải

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

 

a) Ta có: AB→⋅AC→=AB⋅AC⋅cosA=42⋅6⋅cos45°=24

b) Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\overrightarrow {BC} }^2}}&{ = {{(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )}^2} = {{\overrightarrow {AC} }^2} - 2\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {AB}  + {{\overrightarrow {AB} }^2} = {6^2} - 2 \cdot 24 + {{(4\sqrt 2 )}^2} = 20}\\{}&{ \Rightarrow BC = 2\sqrt 5 .}\\{{{\overrightarrow {AD} }^2}}&{ = {{\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)}^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)}\\{}&{ = \frac{1}{4}\left[ {{{(4\sqrt 2 )}^2} + 2 \cdot 24 + {6^2}} \right] = 29 \Rightarrow AD = \sqrt {29} .}\end{array}\)

c) Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AE}  - \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \). Từ đó, ta có:

\(\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) \cdot (k\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{2}\left( {k\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  + k{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2} - \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left[ {24k + {6^2} \cdot k - {{(4\sqrt 2 )}^2} - 24} \right]\\ = 30k - 28.\end{array}\)

Khi đó \(AD \bot BE \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {BE}  = 0 \Leftrightarrow 30k - 28 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{14}}{{15}}\).

Câu 2

Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2 và góc \(B\) bằng 60°. Khi đó:

a) (AB→,AC→)=60°

b) (AB→,DA→)=30°

c) \(\overrightarrow {DA}  \cdot \overrightarrow {DC}  = 3\)

d) \(\overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {BA}  =  - 3\)

Lời giải

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Đúng

Cho hình thoi \(ABCD\) có cạnh bằng 2 và góc \(B\) bằng \({60^^\circ }\). Khi đó: a) \((\overrightarrow {A (ảnh 1) 

Xét hình thoi \(ABCD\) có ABC^=60°⇒BAD^=120°; tam giác \(ABC\) có AB=BC=2,ABC^=60°⇒ΔABC đều cạnh 2⇒OB=232=3

Ta có: (AB→,AC→)=BAC^=60°  ; (AB→,DA→)=180°−(AB→,AD→)=180°−BAD^=180°−120°=60°

Ta có: DA→⋅DC→=|DA→|⋅|DC→|cos(DA→,DC→)=DA⋅DC⋅cosADC^=2⋅2⋅cos60°=2;

OB→⋅BA→=−BO→⋅BA→=−|BO→|⋅|BA→|⋅cosABO^=−BO⋅BA⋅cos30°=−3⋅2⋅32=−3.

Câu 3

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\) và số thực \(k\). Tập hợp điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MB}  \cdot \overrightarrow {MD}  = k\) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tam giác \(ABC\) đều, đường cao \(AH\). Khi đó:

a) \((\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ) = 30^\circ \)

b) (AH→,CB→)=90°

c) \((\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ) = 120^\circ \)

d) \((\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BA} ) = 130^\circ \)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hai điểm \(A,B\) cố định có khoảng cách bằng \(a\). Tập hợp điểm \(M\) sao cho:

\(\overrightarrow {MA}  \cdot \overrightarrow {MB}  = \frac{{3{a^2}}}{4}\) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(F\) thoả mãn \(\overrightarrow {BF}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD} \) Khi đó:

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Lấy \(E\) là trung đ (ảnh 1)

a) \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

b) \(\overrightarrow {AF}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{5}{4}\overrightarrow {AD} .\)

c) \(\overrightarrow {EF}  = \frac{{ - 3}}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\)

d) Tam giác \(AEF\)vuông cân.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC,D\) là hình chiếu của \(H\) trên \(AC,M\) là trung điểm của \(HD\). Tính \(\overrightarrow {AM}  \cdot \overrightarrow {BD} \)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đăng ký

Bạn đã có tài khoản?

CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
Giấy chứng nhận ĐKKD số: 0108307822 do Sở KH & ĐT TP Hà Nội cấp lần đầu ngày 04/06/2018
© 2017 Vietjack72. All Rights Reserved.
zalo Nhắn tin Zalo Hỏi bài tập