Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) là trung điểm \(BC\). Gọi \(G\) là trọng tâm, \(H\) là trực tâm, \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\), \(A{A^\prime }\) là đường kính của \((O)\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {{A^\prime }C} \)

b) \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} \)

c) \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HO} \)

d) \[\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OH} \]

Ta có \(\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {NP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Suy ra \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NP}  = \frac{2}{9} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{{13}}{2}\)

Mặt khác \(|\overrightarrow {NM} | = \sqrt {10} ,|\overrightarrow {NP} | = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}.\)

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JD} \)

\( = (\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI} ) + 2\overrightarrow {IJ}  + (\overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} ) = 2\overrightarrow {IJ} \)

b) \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JD}  + \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JC} \)

\( = (\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI} ) + 2\overrightarrow {IJ}  + (\overrightarrow {JD}  + \overrightarrow {JC} ) = 2\overrightarrow {IJ} \)

c) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {MJ}  = 2(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {MJ} ) = 4\overrightarrow {MK} \)