Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Cho điểm \(M\) sao cho \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 6\), khi đó điểm \(M\) thuộc đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

a) Do tứ giác \(BHC{A^\prime }\) có \(BH//{A^\prime }C( \bot AC)\) và \(CH//B{A^\prime }( \bot AB)\) nên \(BHC{A^\prime }\) là hình bình hành \( \Rightarrow \overrightarrow {BH}  = \overrightarrow {{A^\prime }C} \)

b) Lại có \(M\) là trung điểm của đường chéo \(BC\) nên \(M\) là trung điểm của \(H{A^\prime }\) hay \(H,M\), \({A^\prime }\) thẳng hàng.

Do \(OM\) là đường trung bình của  nên \(AH = 2OM\), mà \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} \) cùng hướng

\( \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OM} {\rm{. }}\)

c) \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HA} \overrightarrow { + HA} \) (Tứ giác \(AHC{A^\prime }\) là hình bình hành \(\overrightarrow {H{A^\prime }}  = \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \)

d) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC} \)

\( = 3\overrightarrow {OH}  + 2\overrightarrow {HO}  = \overrightarrow {OH} \).

Ta có \(\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {NP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Suy ra \(\overrightarrow {NM}  \cdot \overrightarrow {NP}  = \frac{2}{9} \cdot 9 + \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{{13}}{2}\)

Mặt khác \(|\overrightarrow {NM} | = \sqrt {10} ,|\overrightarrow {NP} | = \frac{5}{2} \Rightarrow \cos \widehat {MNP} = \frac{{13}}{{5\sqrt {10} }}.\)