Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Tính tổng \(S = M + m\).

Tại một vị trí cụ thể ở núi Bà Đen người ta đặt cố định một hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mỗi đơn vị trên mỗi trục có độ dài bằng 1 mét. Một người đứng cố định tại vị trí \(B\left( {2;0; - 1} \right)\), quan sát một chiếc cabin cáp treo và thấy rằng cabin này xuất phát từ điểm \(A\left( { - 1;4;3} \right)\), chuyển động thẳng đều theo hướng của vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 2} \right)\) với vận tốc 6 m/s. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát khoảng cách giữa cabin và người quan sát bằng bao nhiêu mét?

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) có \(A\left( {1;3; - 2} \right),B\left( { - 1; - 1;0} \right),C\left( {3;1; - 1} \right),D\left( {0;2; - 2} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(f = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| + 3\left| {\overrightarrow {MD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Một người quản lí ở một trang trại nuôi cá xác định rằng: Sau \(t\) tháng kể từ khi thả 300 con cá X với \(0 \le t \le 10\) thì khối lượng trung bình \(m\left( t \right)\) tính theo kg của một con cá X ước tính là \(m\left( t \right) = 0,45\left( {0,2 + \frac{{141}}{{155}}t - 0,05{t^2}} \right)\). Người này cũng nhận định tỉ lệ giữa số lượng cá X còn sống trong ao so với số lượng cá X thả ban đầu sau \(t\) tháng kể từ ngày thả là \(p\left( t \right) = \frac{{31}}{{31 + t}}\). Biết rằng sản lượng cá X tại một thời điểm được tính bằng tổng khối lượng của các con cá \(X\) đã thả còn sống trong ao lúc đó. Hỏi với những nhận định trên của người quản lý thì dự kiến trong tối đa 10 tháng nuôi, sản lượng cá X lớn nhất có thể đạt được là bao nhiêu?

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), \(G\) là trung điểm của \(AM\) biết \(\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AC} = n{a^2}\) ( \(n\) là số thập phân). Tìm \(n\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho ba điểm \(A\left( {3;1;0} \right),B\left( {2;1; - 1} \right),C\left( {x;y; - 1} \right)\). Tìm tọa độ \(C\) để tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {1 - x} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^3}\left( {3 - x} \right)\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) có bảng biến thiên như sau

Gọi \(M,m\) theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\). Giá trị \(M.m\) bằng