Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \((AB < AC)\), nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Tiếp tuyến tại điểm \(A\) của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(S\). Gọi \(I\) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \(O\) đến đường thẳng \(BC\).

1) Chứng minh tứ giác \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.

2) Gọi \(H\) và \(D\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến các đường thẳng \(SO\) và \(SC\). Chứng minh \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).

3) Vẽ đường cao \(CE\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(Q\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BE\). Đường thẳng \(QD\) cắt đường thẳng \(AH\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(BQ.BA = BD.BI\) và đường thẳng \(CK\) song song với đường thẳng \(SO\).

Cách 1:

• Ta có: \[\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\,\,\,\left( 1 \right)\]

\( \Leftrightarrow {a^2}\left( {{b^2} + a} \right) + {b^2}\left( {{a^2} + b} \right) \le \left( {{a^2} + b} \right)\left( {{b^2} + a} \right)\)

\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + 2{a^2}{b^2} \le {a^3} + {b^3} + {a^2}{b^2} + ab\)

\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} \le ab\,\,\,\left( 2 \right)\)

• Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có:

\(2 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

\( \Rightarrow \sqrt {ab}  \le 1 \Leftrightarrow ab \le 1 \Rightarrow {a^2}{b^2} \le ab\). Do đó \(\left( 2 \right)\) đúng.

Vì bất đẳng thức \[\left( 2 \right)\] đúng nên bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] đúng (đpcm).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 2}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 1} \right.\).

Cách 2:

Ta có \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} = 1 - \frac{b}{{{a^2} + b}};\frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 1 - \frac{a}{{{b^2} + a}}\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 2 - \left( {\frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}}} \right)\)

Ta chứng minh \(\frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}} \ge 1\)

Ta có \(VT = \frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}b + {b^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}a + {a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}b + {b^2} + {b^2}a + {a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2ab + {b^2} + {a^2}}} = 2\).

Do đó \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\).

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 2}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 1} \right.\).

Gọi số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},x < 900} \right)\).

Do đó, theo kế hoạch, thời gian phân xưởng làm xong 900 sản phẩm là \(\frac{{900}}{x}\) (ngày).

Thực tế, mỗi ngày, phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch nên thực tế, số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm là \(x + 15\) (sản phẩm).

Do đó, thực tế, thời gian phân xưởng làm xong 900 sản phẩm là \(\frac{{900}}{{x + 15}}\) (ngày).

Vì phân xưởng đã làm xong 900 sản phẩm 3 ngày trước khi hết thời hạn nên ta có phương trình: \(\frac{{900}}{{x + 15}} + 3 = \frac{{900}}{x}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{900}}{x} - \frac{{900}}{{x + 15}} = 3\)

\( \Leftrightarrow 900\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 15}}} \right) = 3\)

\( \Leftrightarrow 300.\frac{{x + 15 - x}}{{x\left( {x + 15} \right)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 300.\frac{{15}}{{x\left( {x + 15} \right)}} = 1\)

\( \Rightarrow {x^2} + 15x = 4500\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 15x - 4500 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 60} \right)\left( {x + 75} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 60}\\{x =  - 75}\end{array}} \right.\)

Đối chiếu điều kiện ta thấy \(x = 60\) thỏa mãn.

Vậy số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là 60 sản phẩm.