Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b \le 2\). Chứng minh
\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\).
Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \(a + b \le 2\). Chứng minh
\(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1:
• Ta có: \[\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\,\,\,\left( 1 \right)\]
\( \Leftrightarrow {a^2}\left( {{b^2} + a} \right) + {b^2}\left( {{a^2} + b} \right) \le \left( {{a^2} + b} \right)\left( {{b^2} + a} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + 2{a^2}{b^2} \le {a^3} + {b^3} + {a^2}{b^2} + ab\)
\( \Leftrightarrow {a^2}{b^2} \le ab\,\,\,\left( 2 \right)\)
• Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có:
\(2 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
\( \Rightarrow \sqrt {ab} \le 1 \Leftrightarrow ab \le 1 \Rightarrow {a^2}{b^2} \le ab\). Do đó \(\left( 2 \right)\) đúng.
Vì bất đẳng thức \[\left( 2 \right)\] đúng nên bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] đúng (đpcm).
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 2}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 1} \right.\).
Cách 2:
Ta có \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} = 1 - \frac{b}{{{a^2} + b}};\frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 1 - \frac{a}{{{b^2} + a}}\)
\( \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} = 2 - \left( {\frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}}} \right)\)
Ta chứng minh \(\frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}} \ge 1\)
Ta có \(VT = \frac{b}{{{a^2} + b}} + \frac{a}{{{b^2} + a}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2}b + {b^2}}} + \frac{{{a^2}}}{{{b^2}a + {a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}b + {b^2} + {b^2}a + {a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{2ab + {b^2} + {a^2}}} = 2\).
Do đó \(\frac{{{a^2}}}{{{a^2} + b}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + a}} \le 1\).
Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 2}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow a = b = 1} \right.\).
Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
1) Chứng minh tứ giác \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.
Có \(SA\) là tiếp tuyến nên \(SA \bot OA\) \( \Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \).
Vì \(OI \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {SIO} = 90^\circ \)
Tứ giác \(SAOI\) có \[\widehat {SAO} + \widehat {SIO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \], mà hai góc này ở vị trí đối nhau
Suy ra \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).
Vì \(SAOI\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {SOA} = \widehat {SIA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(SA\))
Hay \(\widehat {AOH} = \widehat {AID}\left( 1 \right)\)
\({\rm{\Delta }}AHO\) vuông tại \(H\left( {AH \bot SO} \right)\) nên \(\widehat {AOH} + \widehat {OAH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {OAH} = 90^\circ - \widehat {AOH}\left( 2 \right)\)
\({\rm{\Delta }}ADI\) vuông tại \(H\left( {AD \bot SC} \right)\) nên \(\widehat {AID} + \widehat {IAD} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {IAD} = 90^\circ - \widehat {AID}\left( 3 \right)\).
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta có \(\widehat {OAH} = \widehat {IAD}\).
3) Chứng minh \(BQ.BA = BD.BI\) và đường thẳng \(CK\) song song với đường thẳng \(SO\).
* Chứng minh \(BQ.BA = BD.BI\)
Cách 1:
Xét tứ giác \(AEDC\) có \(\widehat {AEC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \), mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(AC\)
Do đó tứ giác \(AEDC\) nội tiếp suy ra \(\widehat {AED} + \widehat {DCA} = 180^\circ \)
Mà \(\widehat {AED} + \widehat {BED} = 180^\circ \) (kề bù), suy ra \[\widehat {BED} = \widehat {DCA}\]
Xét \(\Delta BED\) và \(\Delta BCA\) có: \(\widehat {ABC}\) chung; \[\widehat {BED} = \widehat {BCA}\]
Do đó
\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BA}}\) (tỉ số đồng dạng)
\( \Rightarrow BD.BC = BE.BA\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}BC.BD = \frac{1}{2}BE.BA\)
\( \Rightarrow BI.BD = BQ.BA\)
Suy ra tứ giác \(QDIA\) nội tiếp.
Cách 2:
Xét \(\Delta BCE\) có \(Q,I\) lần lượt là trung điểm của \(BE,BC\) nên \(QI\) là đường trung bình của tam giác
\( \Rightarrow QI\,{\rm{//}}\,EC\), mà \(AB \bot EC\) nên \(AB \bot QI\) hay \(\widehat {AQI} = 90^\circ \)
Xét tứ giác \(AQDI\) có \[\widehat {AQI} = \widehat {ADI} = 90^\circ \], mà hai góc này cùng nhìn cạnh \(AI\)
Do đó tứ giác \(AQDI\) nội tiếp \( \Rightarrow BQ.BA = BI.BD\)
* Chứng minh \(CK\,{\rm{//}}\,SO\).
Ta có \(\widehat {BAD} = 90^\circ - \widehat {ABC} = 90^\circ - \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = \widehat {OAC}\)
Mà \[\widehat {IAD} = \widehat {OAH}\] (theo câu b) nên \(\widehat {BAI} = \widehat {KAC}\)
Lại có tứ giác \(AQDI\) nội tiếp nên \[\widehat {BDQ} = \widehat {BAI} = \widehat {KAC}\]
Mà \[\widehat {CDK} = \widehat {BDQ}\], do đó \[\widehat {CDK} = \widehat {KAC}\]
Suy ra tứ giác \(ADKC\) nội tiếp.
\( \Rightarrow \widehat {CKA} = \widehat {CDA} = 90^\circ \Rightarrow CK \bot AK\).
Mà \(AK \bot SO\) nên \(CK\,{\rm{//}}\,SO\).
Lời giải
1) Tính giá trị biểu thức \(A\) khi \(x = 9\).
Thay \(x = 9\) (tmđk) vào \(A\) ta được \(A = \frac{{9 + 2}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{11}}{3}\).
Vậy \(A = \frac{{11}}{3}\) khi \(x = 9\).
2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).
Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có:
\(B = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\[ = \frac{{2x + 2\sqrt x - 3\sqrt x - 3 + 3 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\( = \frac{{2x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).
Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) thì \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\).
3) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để \(A.B = 4\).
Với \(x > 0,x \ne 1\) ta có: \(AB = 4\)\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = 4\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{\sqrt x + 1}} = 2\)
\( \Rightarrow x + 2 = 2\left( {\sqrt x + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow x - 2\sqrt x = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x = 0}\\{\sqrt x = 2}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0\left( {ktm} \right)}\\{x = 4\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)
Vậy \(x = 4\) thì \(AB = 4\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo