PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một lực tĩnh điện \(\vec F\) tác động lên điện tích điểm \(M\) trong điện trường đều làm cho \(M\) dịch chuyển theo đường gấp khúc \(MNP\). Biết \(q = {2.10^{ - 12}}\)(C) và vectơ cường độ điện trường có độ lớn \(E = 1,{8.10^5}\;\)(N/C) và \(d = MH = 5\;\)(mm). Biết công \(A\) sinh bởi lực tĩnh điện \(\vec F\) bằng \(a{.10^{ - 9}}(J)\) Tính a.

____

Đặt \(\widehat {QPR} = \varphi \left( {rad} \right)\), \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ta có \(\Delta PQR\) vuông tại \(Q\) \( \Rightarrow PQ = PR.\cos \varphi  = 4\cos \varphi \).

Mà \(\widehat {QOR} = 2\widehat {QPR} = 2\varphi \).

Độ dài cung tròn \(QR = 2.2\varphi  = 4\varphi \).

Thời gian anh Tài chèo từ \(P\) đến \(Q\) là: \(\frac{{4\cos \varphi }}{3}\) (giờ).

Thời gian anh Tài chèo từ \(Q\) đến \(R\) là: \(\frac{{4\varphi }}{6} = \frac{{2\varphi }}{3}\) (giờ).

Tổng thời gian anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\) là: \(t = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\,\,\left( {0 < \varphi  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Xét hàm số \(t\left( \varphi  \right) = \frac{{4\cos \varphi }}{3} + \frac{{2\varphi }}{3}\) với \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

\(t'\left( \varphi  \right) = \frac{1}{3}\left( { - 4\sin \varphi  + 2} \right)\), \(\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\).

\(t'\left( \varphi  \right) = 0,\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sin \varphi  = \frac{1}{2},\,\,\varphi  \in \left( {0\,;\,\,\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \varphi  = \frac{\pi }{6}\).

Bảng biến thiên

Vậy thời gian chậm nhất mà anh Tài di chuyển từ \(P\) đến \(R\)là \(t\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} + \frac{\pi }{9} \approx 1,5\)(giờ) hay 90 phút.

Dựng hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ

Khi đó tọa độ các điểm là \(B\left( {0;\,0;\,0} \right)\), \(C\left( {8;\,0;\,0} \right)\), \(D\left( {8;\,6;\,0} \right)\), \(A\left( {0;\,6;\,0} \right)\), \(G\left( {8;\,0;\,10} \right)\), \(F\left( {0;\,0;\,10} \right)\).

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AF\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,3;\,5} \right)\).

Con cá bơi từ điểm \(G\) đến chạm mặt đáy hồ tại điểm \(I\left( {x;\,y;\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\) với \(0 \le x \le 8\), \(0 \le y \le 6\).

Gọi \(N\) là điểm đối xứng của điểm \(M\) qua \(\left( {Oxy} \right)\) \( \Rightarrow N\left( {0;\,3;\, - 5} \right)\).

Quãng đường di chuyển của con cá là \(G - I - M\)

Ta có: \(IM + IG = IN + IG \ge GN\)\( = \sqrt {{{\left( {0 - 8} \right)}^2} + {{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 10} \right)}^2}}  = \sqrt {298} \).

Để \(IM + IG\) nhỏ nhất thì ba điểm \(I\), \(G\), \(N\) thẳng hàng

Suy ra \(\overrightarrow {IG} \), \(\overrightarrow {NG} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {IG}  = \left( {8 - x;\, - y;\,10} \right)\).

\(\overrightarrow {NG}  = \left( {8;\, - 3;\,15} \right)\).

Do đó \(\frac{{8 - x}}{8} = \frac{{ - y}}{{ - 3}} = \frac{{10}}{{15}}\).

Suy ra \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 2\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{8}{3};\,2;\,0} \right)\).

Khi đó, \(a = d\left( {I,BA} \right) = \frac{8}{3}\), \(b = d\left( {I,BC} \right) = 2\).

Vậy \(D = 3a + 6b = 3 \cdot \frac{8}{3} + 6 \cdot 2 = 20\).