Một xưởng sản xuất có hai loại máy là máy cưa gỗ tự động và máy đánh bóng bề mặt để sản xuất hai loại sản phẩm bàn học sinh và ghế gỗ. Để sản xuất 1 cái bàn học sinh cần dùng máy cưa gỗ tự động trong 1 giờ và dùng máy đánh bóng bề mặt trong 1 giờ. Để sản xuất 1 cái ghế gỗ cần dùng máy cưa gỗ tự động trong 1 giờ và dùng máy đánh bóng bề mặt trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy cưa gỗ tự động làm việc không quá 8 giờ một ngày, máy đánh bóng bề mặt làm việc không quá 12 giờ một ngày. Một cái bàn học sinh lãi 137 ngàn đồng và một cái ghế gỗ lãi 80 ngàn đồng. Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số cái bàn học sinh và ghế gỗ cần sản xuất. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

a) \(x + 2y - 12 \le 0\).

b) Với \(x = 8,y = 0\) thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

c) Lợi nhuận lớn nhất đạt được là 1101 ngàn đồng.

d) \(x + y - 8 \ge 0\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là diện tích (ha) trồng nha đam và măng tây \(\left( {x \ge 0,\,y \ge 0} \right)\).

Theo bài ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\10x + 30y \le 150\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 10\\x + 3y \le 15\end{array} \right.\)

Số tiền người nông dân thu được là: \(F(x,y) = 4x + 6y\) (triệu).

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm \(F(x,y) = 4x + 6y\) với \(x,y\) thỏa mãn các điều kiện trong đề bài.

Bước 1. Biểu diễn miền nghiệm và xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm là tứ giác \(OABC\) với tọa độ các đỉnh \(O(0;0)\),\(A(0;5)\),\(B(7,5;\,2,5)\),\(C(10,0)\),.

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của ngũ giác này:

\(F(0,0) = 0\),\(F(0;5) = 30\),\(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\),\(F(10;0) = 40\).

Bước 3. So sánh các giá trị thu được của \(F\) ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là: \(F(7,5;\,2,5) = 30 + 15 = 45\).

Vậy số tiền bác nông dân thu được nhiều nhất là \(45\) triệu.

Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:

\(\left( {{d_1}} \right):x - 2y = 0\)

\(\left( {{d_2}} \right):x + 3y =  - 2\)

Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ phần không thích hợp, phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.