Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm \(A\) và đi đến địa điểm \(B\). Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là \(20\;{\rm{km/h}}\) nên ô tô đến \(B\) sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng đường \(AB\) dài \(60\;{\rm{km}}\), tính vận tốc của mỗi xe. (Giả định rằng vận tốc mỗi xe là không đổi trên toàn bộ quãng đường \(AB\).)

Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\):

\({x^2} = 2x + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} = 0{\rm{ }}\) \(\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = 1 + {m^2}\).

Suy ra \(\Delta ' > 0\) với mọi giá trị của \(m\).

Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\).

Vì \({x_1},{x_2}\) là hoành độ giao điểm của của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) nên \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\).

Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} =  - {m^2}}\end{array}} \right.\).

Từ đó: \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\).

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} + 4 = 0\)

Suy ra \(2 - {m^2} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 6 \).

Vậy để \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\) thì \(m =  \pm \sqrt 6 \).

1)

Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\), ta có: \(A = \frac{{3\sqrt 9 }}{{\sqrt 9  + 2}} = \frac{{3.3}}{{3 + 2}} = \frac{9}{5}\).

2)

Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\].

Với \[x \ge 0,x \ne 4\] ta có:

\[B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}\]

\( = \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}\)

\( = \frac{{x + 4 - 2\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\).

3)

Tìm số nguyên dương \(x\) lớn nhất thỏa mãn \(A - B < \frac{3}{2}\).

Với \[x \ge 0,x \ne 4\] ta có: \[A - B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\].

\(A - B < \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} < \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow 4\sqrt x  < 3\sqrt x  + 6{\rm{ }}\left( {{\rm{v\`i  }}x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 > 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  < 6\)

\( \Leftrightarrow x < 36\)

Kết hợp với điều kiện \[x \ge 0,x \ne 4\] ta có \(0 \le x < 36\), \(x \ne 4\)

Mà \(x\) là số nguyên dương lớn nhất nên \(x = 35\).

Vậy số nguyên dương \(x\) lớn nhất thỏa mãn \(A - B < \frac{3}{2}\) là \(x = 35\).