Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = 2x + {m^2}\).

a) Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\).

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điểm \(A\) và đi đến địa điểm \(B\). Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là \(20\;{\rm{km/h}}\) nên ô tô đến \(B\) sớm hơn xe máy 30 phút. Biết quãng đường \(AB\) dài \(60\;{\rm{km}}\), tính vận tốc của mỗi xe. (Giả định rằng vận tốc mỗi xe là không đổi trên toàn bộ quãng đường \(AB\).)

Cho hai biểu thức \[A = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\] và \[B = \frac{{x + 4}}{{x - 4}} - \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}\] với \[x \ge 0,x \ne 4\].

1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 9\].

2) Chứng minh \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\].

3) Tìm số nguyên dương \(x\) lớn nhất thỏa mãn \(A - B < \frac{3}{2}\).

Quả bóng đá thường được sử dụng trong các trận thi đấu dành cho trẻ em từ 6 tuổi đến 8 tuổi có dạng một hình cầu với bán kính bằng \(9,5\;{\rm{cm}}\). Tính diện tích bề mặt của quả bóng đó (lấy \(\pi  \approx 3,14\)).

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại đỉnh \(A\). Gọi \(E\) là một điểm bất kỳ trên tia \(CA\) sao cho điểm \(A\) nằm giữa hai điểm \(C\) và \(E\). Gọi \(M\) và \(H\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến các đường thẳng \(BC\) và \[BE\].

1) Chứng minh tứ giác \(AMBH\) là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh \(BC.BM = BH.BE\) và \(HM\) là tia phân giác của góc \(AHB\).

3) Lấy điểm \(N\) sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \[AN\]. Gọi \(K\) là giao điểm của hai đường thẳng \(EN\) và \(AB\). Chứng minh ba điểm \(H,K,M\) là ba điểm thẳng hàng.

Giải hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + \frac{{12}}{{y + 2}} = 5}\\{3x - \frac{4}{{y + 2}} = 2}\end{array}} \right.\).