Cho hai hàm số \[y = \frac{1}{2}{x^2}\] có đồ thị \[\left( P \right)\] và \[y = x + 4\] có đồ thị \[\left( d \right)\].

a) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\].

b) Gọi \[A,\,B\] là các giao điểm của hai đồ thị \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\]. Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm \[M\] trên tia \[Ox\] sao cho diện tích tam giác \[MAB\] bằng 30 cm2.

a) \[y = \frac{1}{2}{x^2}\]

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{2}{x^2}\] là đường cong đi qua các điểm \[\left( { - 2;\,2} \right),\,\left( { - 1;\,\frac{1}{2}} \right),\,\left( {0;0} \right),\,\left( {1;\,\frac{1}{2}} \right),\,\left( {2;\,2} \right)\]

b)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\] là:

\[\frac{1}{2}{x^2} = x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\]

Ta có: \[\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 8} \right) = 9 > 0\]

Do đó, phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \[x = 4;\,x =  - 2\].

Với \[x =  - 2\] ta có \[y = 2 \Rightarrow A\left( { - 2;\,2} \right)\]

Với \[x = 4\] ta có \[y = 8 \Rightarrow B\left( {4;\,8} \right)\].

Gọi \[M\left( {m;\,\,0} \right)\] thuộc tia \[Ox\left( {m > 0} \right)\]. Gọi \[C\left( { - 2;\,0} \right),\,D\left( {4;\,0} \right)\]. Xét hai trường hợp:

+ Trường hợp 1: \[M\] thuộc đoạn \[OD\]. Ta có \[{S_{AMB}} = {S_{ABDC}} - {S_{ACM}} - {S_{BDM}}\]

Có \[ABDC\] là hình thang có \[AC\] = 2 cm, \[BD\] = 8 cm, \[CD\] = 6 cm.

\[ \Rightarrow {S_{ABDC}} = \frac{{\left( {2 + 8} \right).6}}{2} = 30\,\,(c{m^2})\]

Suy ra \[{S_{AMB}}\] < 30 cm2 (loại).

+ Trường hợp 2: \[M\] thuộc tia \[Dx\,\,\left( {M \ne D} \right) \Rightarrow m > 4\].

Ta có :\[{S_{AMB}} = {S_{ABDC}} - {S_{ACM}} + {S_{BDM}}\]

Có \[{S_{ABDC}}\] = 30 cm2, \[MC = m + 2\] (cm), \[MD = m - 4\] (cm)

Suy ra

\[{S_{ACM}} = \frac{1}{2}AC.CM = \frac{1}{2}.2.\left( {m + 2} \right) = m + 2\,\,\,({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\]

\[{S_{BDM}} = \frac{1}{2}BD.DM = \frac{1}{2}.8.\left( {m - 4} \right) = 4\left( {m - 4} \right)\,\,{\rm{(c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\]

\[ \Rightarrow {S_{AMB}} = 30c{m^2} \Leftrightarrow {S_{ACM}} = {S_{BDM}} \Leftrightarrow m + 2 = 4\left( {m - 4} \right) \Leftrightarrow m = 6\] (thỏa mãn).

Vậy \[M\left( {6;\,0} \right)\] là điểm cần tìm.