Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng \[\frac{3}{5}\] chiều dài. Nếu chiều rộng giảm đi 1 cm và chiều dài giảm đi 4 cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó.

Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\3x - 2y = 1\end{array} \right.\].

Cho phương trình \[{x^2} + x - 2 + \sqrt 2  = 0\] có hai nghiệm là \[{x_1}\] và \[{x_2}\].

Tính giá trị của biểu thức \[x_1^3 + x_2^3\].

Cho hai hàm số \[y = \frac{1}{2}{x^2}\] có đồ thị \[\left( P \right)\] và \[y = x + 4\] có đồ thị \[\left( d \right)\].

a) Vẽ đồ thị \[\left( P \right)\].

b) Gọi \[A,\,B\] là các giao điểm của hai đồ thị \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\]. Biết rằng đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét, tìm tất cả các điểm \[M\] trên tia \[Ox\] sao cho diện tích tam giác \[MAB\] bằng 30 cm2.

Cho tam giác \[ABC\]  nhọn có \[AB < AC\] và nội tiếp trong đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AD\]. Gọi \[AH\] là đường cao của tam giác \[ABC\]. Qua \[B\] kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \[AD\] tại \[E\].

a) Chứng minh \[ABHE\] là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh hai đường thẳng \[HE\] và \[AC\] vuông góc với nhau.

c) Gọi \[F\] là hình chiếu vuông góc của điểm \[C\] lên đường thẳng \[AD\] và \[M\] là trung điểm của đoạn thẳng \[BC\]. Chứng minh rằng \[M\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[HEF\].

Rút gọn biểu thức \[M = \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\] với \[ab \ne 0\].