Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số đã cho.

b) Đường thẳng \(y = 8\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(B\) có hoành độ dương. Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(OAB\), với \(O\) là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác \(AHB\) (đơn vị đo trên các trục toạ độ là xentimet).

a) Xét hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên.

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(\left( { - 4;8} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right),\left( {4;8} \right)\).

Đồ thị hàm số:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 8\) ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} = 8 \Leftrightarrow x = 16\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\)

Với \(x = 4 \Rightarrow A\left( { - 4;8} \right)\);

Với \(x =  - 4 \Rightarrow B\left( {4;8} \right)\) (do \(B\) có hoành độ dương).

Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(y = 8\) với trục tung \( \Rightarrow K\left( {0;8} \right)\)

Ta có: \(\Delta AOB\) cân tại \(O\), có \(OK \bot AB,OK = 8{\rm{\;cm}},AB = 8{\rm{\;cm}}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OK.AB = \frac{1}{2}.8.8 = 32\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta OBK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(OB = \sqrt {O{K^2} + K{B^2}}  = \sqrt {{8^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 5 \left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Lại có: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.AH.4\sqrt 5  = 32 \Leftrightarrow AH = \frac{{16\sqrt 5 }}{5}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{16\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}AH.BH\)\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16\sqrt 5 }}{5} \cdot \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\)\( = \frac{{64}}{5} = 12,8\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích tam giác \(ABH\) là \(12,8{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).