Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số đã cho.

b) Đường thẳng \(y = 8\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(B\) có hoành độ dương. Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(OAB\), với \(O\) là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác \(AHB\) (đơn vị đo trên các trục toạ độ là xentimet).

Gọi quãng đường lên dốc lúc đi là \(x\) (km), quãng đường xuống dốc lúc đi là \(y\) (km).

(ĐK: \(x,y > 0\))

Suy ra quãng đường lên dốc lúc về là \(y\) (km), xuống dốc lúc về là \(x\) (km).
Thời gian lúc đi là 16 phút \( = \frac{4}{{15}}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{15}} = \frac{4}{{15}}\)
\( \Leftrightarrow 3x + 2y = 8\)  \(\left( 1 \right)\)

Thời gian lúc về là 14 phút \( = \frac{7}{{30}}\) (giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{y}{{10}} + \frac{x}{{15}} = \frac{7}{{30}}\)
\( \Leftrightarrow 3x + 2y = 7\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{3y + 2x = 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9x + 6y = 24}\\{4x + 6y = 14}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x = 10}\\{y = \frac{{7 - 2x}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}\left( {{\rm{tm}}} \right)} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy quãng đường \(AB\)  là \(2 + 1 = 3\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Xét phương trình \({x^2} - 19x + 7 = 0\) có \({\rm{\Delta }} = {19^2} - 4.7 = 333 > 0\)

Þ Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 19}\\{{x_1}{x_2} = 7}\end{array}} \right.\)

Ta có \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_1^2 - 19{x_1} + 7 = 0}\\{x_2^2 - 19{x_2} + 7 = 0}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(P = {x_2}{\left( {2x_1^2 - 38{x_1} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + {x_1}{\left( {2x_2^2 - 38{x_2} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + 120\)

\( = {x_2}{\left[ {2\left( {x_1^2 - 19{x_1} + 7} \right) - 14 + {x_1}{x_2} - 3} \right]^2} + {x_1}{\left[ {2\left( {x_2^2 - 19{x_2} + 7} \right) - 14 + {x_1}{x_2} - 3} \right]^2}\)

\( = {x_2}{\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2} + {x_1}{\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2}\)

\( = {\left( {{x_1}{x_2} - 17} \right)^2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)

\( = {(7 - 17)^2}.19 = 1900\).