Quãng đường \(AB\) gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) hết 16 phút và đi từ \(B\) về \(A\) hết 14 phút. Biết vận tốc lúc lên dốc là \(10{\rm{\;km/h}}\), vận tốc lúc xuống dốc là \(15{\rm{\;km/h}}\) (vận tốc lên dốc và xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính quãng đường \(AB\).

Giải phương trình: \(3{x^2} - 7x + 2 = 0\).

Biết rằng phương trình \({x^2} - 19x + 7 = 0\) có hai nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\), không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:

\(P = {x_2}{\left( {2x_1^2 - 38{x_1} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + {x_1}{\left( {2x_2^2 - 38{x_2} + {x_1}{x_2} - 3} \right)^2} + 120\).

Cho hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\).

a) Vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số đã cho.

b) Đường thẳng \(y = 8\) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(B\) có hoành độ dương. Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) của tam giác \(OAB\), với \(O\) là gốc toạ độ. Tính diện tích tam giác \(AHB\) (đơn vị đo trên các trục toạ độ là xentimet).

Một số tự nhiên nhỏ hơn bình phương của nó 20 đơn vị. Tìm số tự nhiên đó.

Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\). Trên cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \(\left( O \right)\) lấy điểm \(D\) (không trùng với \(B\) và \(C\)). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(AB\) (\(H\) thuộc \(AB\)) và \(E\) là giao điểm của \(CH\) với \(AD\).

a) Chứng minh rằng tứ giác \(BDEH\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(A{B^2} = AE.AD + BH.BA\).

c) Đường thẳng qua \(E\) song song với \(AB\), cắt \(BC\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(\widehat {CDF} = 90^\circ \) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OBD\) đi qua trung điểm của đoạn \(CF\).

Tính giá trị của biểu thức \(A = \sqrt 3  + \sqrt {12}  - \sqrt {27}  - \sqrt {36} \).