Một số tự nhiên nhỏ hơn bình phương của nó 20 đơn vị. Tìm số tự nhiên đó.

Gọi quãng đường lên dốc lúc đi là \(x\) (km), quãng đường xuống dốc lúc đi là \(y\) (km).

(ĐK: \(x,y > 0\))

Suy ra quãng đường lên dốc lúc về là \(y\) (km), xuống dốc lúc về là \(x\) (km).
Thời gian lúc đi là 16 phút \( = \frac{4}{{15}}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{15}} = \frac{4}{{15}}\)
\( \Leftrightarrow 3x + 2y = 8\)  \(\left( 1 \right)\)

Thời gian lúc về là 14 phút \( = \frac{7}{{30}}\) (giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{y}{{10}} + \frac{x}{{15}} = \frac{7}{{30}}\)
\( \Leftrightarrow 3x + 2y = 7\)  \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y = 8}\\{3y + 2x = 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{9x + 6y = 24}\\{4x + 6y = 14}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x = 10}\\{y = \frac{{7 - 2x}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}\left( {{\rm{tm}}} \right)} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy quãng đường \(AB\)  là \(2 + 1 = 3\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

a) Xét hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên.

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(\left( { - 4;8} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right),\left( {4;8} \right)\).

Đồ thị hàm số:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 8\) ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} = 8 \Leftrightarrow x = 16\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\)

Với \(x = 4 \Rightarrow A\left( { - 4;8} \right)\);

Với \(x =  - 4 \Rightarrow B\left( {4;8} \right)\) (do \(B\) có hoành độ dương).

Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(y = 8\) với trục tung \( \Rightarrow K\left( {0;8} \right)\)

Ta có: \(\Delta AOB\) cân tại \(O\), có \(OK \bot AB,OK = 8{\rm{\;cm}},AB = 8{\rm{\;cm}}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OK.AB = \frac{1}{2}.8.8 = 32\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta OBK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(OB = \sqrt {O{K^2} + K{B^2}}  = \sqrt {{8^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 5 \left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Lại có: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.AH.4\sqrt 5  = 32 \Leftrightarrow AH = \frac{{16\sqrt 5 }}{5}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{16\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}AH.BH\)\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16\sqrt 5 }}{5} \cdot \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\)\( = \frac{{64}}{5} = 12,8\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích tam giác \(ABH\) là \(12,8{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).