Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi \[h\left( t \right)\] là thể tích nước bơm được sau \[t\] phút. Biết \[h'\left( t \right) = 3a{t^2} + bt\] và ban đầu bể không có nước. Sau \(5\) phút thì thể tích nước trong bể là \[150\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\], sau \(10\) phút thì thể tích nước trong bể là \[1100\,\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được \(20\) phút là bao nhiêu decimét khối?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, với \(O\) là trung điểm của \(BD\) và hai trục lần lượt song song với hai cạnh \(AB,AD\).

Ta có tọa độ các điểm \(A\left( { - 2; - 2} \right)\), \(B\left( {2; - 2} \right)\) và \(I\left( {0;2} \right)\); phương trình của đường parabol có dạng \(y = a{x^2} + b\) thay tọa độ các điểm \(B,I\) ta có được \(b = 2\) và \( - 2 = a \cdot {2^2} + 2 \Leftrightarrow a = - 1\).

Vậy phương trình của đường \[\left( P \right):y = - {x^2} + 2\].

Tọa độ giao điểm M là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}y = -x^2+2\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2-x-2 = 0\\ y = -x \end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = 2\\ y = -2 \end{array}hoặc \left\{\begin{array}{l}x= -1 \\ y = 1\end{array}\right.\right.$

Suy ra \(M\left( { - 1\,;\,1} \right)\) (loại điểm \[\left( {2; - 2} \right)\] do trùng B).

Diện tích hình phẳng \({S_1} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 2} \right) - \left( { - x} \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right){\rm{d}}x} = \frac{9}{2}\).

Diện tích hình phẳng \[{S_2} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + 2} \right){\rm{d}}x - {S_1}} = \frac{{37}}{6}\].

Diện tích phần còn lại là \({S_3} = 16 - {S_1} - {S_2} = \frac{{16}}{3}\).

Tổng số tiền bỏ ra để sơn là \(200{S_1} + 180{S_2} + 150{S_3} = 2810\) (nghìn đồng).

Đáp án: 2810.

a) Đúng. Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} - 2{x^2} - 3x + 4 = 2x - 2 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2}\\{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Với \[x = - 2 \Rightarrow y = - 6\], với \[x = 1 \Rightarrow y = 0\], với \[x = 3 \Rightarrow y = 4\].

Vậy đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm \(A\left( { - 2; - 6} \right),\,B\left( {1;0} \right),\,C\left( {3;4} \right)\).

b) Sai. Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{97}}{{12}}\).

c) Sai. Ta có \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{63}}{4}\);

\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 2{x^2} - 5x + 6} \right|} \,{\rm{d}}x = \frac{{16}}{3}\).

Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{\frac{{63}}{4}}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{{189}}{{64}}\).

d) Đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d\) là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( {{x^3} - 2{x^2} - 3x + 4} \right) - \left( {2x - 2} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = {S_1} + {S_2} = \frac{{63}}{4} + \frac{{16}}{3} = \frac{{253}}{{12}}\).