Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\left( {AB < AC} \right)\). Gọi \(D\) là điểm trên cung nhỏ \(BC\) sao cho \(DB < DC.\) Từ \(D\) kẻ \(DE\) vuông góc với \(BC\) (\(E\) thuộc \(BC),\) kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\,\,\left( {F \in AC} \right)\). Đường thẳng \(EF\)cắt tia \(AB\) tại \(K\).

a) Chứng minh tứ giác \(CDEF\) nội tiếp và \(\widehat {DFE} = \widehat {DAB}\).

b) Chứng minh tứ giác \(DKBE\) nội tiếp và \(DB.DF = DA.DE\).

c) Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB,EF.\) Chứng minh \[IJ\] vuông góc với \(DJ\).

a)

Ta có: \(DE \bot BC \Rightarrow \widehat {DEC} = 90^\circ ,DF \bot AC \Rightarrow \widehat {DFC} = 90^\circ \).

Tứ giác \(CDEF\)có \(\widehat {DEC} = \widehat {DFC} = 90^\circ \) mà hai góc này có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \(CD\) dưới một góc không đổi nên tứ giác \(CDEF\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {DFE} = \widehat {DCE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE)\).

\( \Rightarrow \widehat {DFE} = \widehat {DCB}\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {DCB}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))

Suy ra \(\widehat {DFE} = \widehat {DAB}\) (đpcm).

b)

+ Ta có \(\widehat {DFE} = \widehat {DAB}(cmt) \Rightarrow \widehat {DFK} = \widehat {DAK}\).

Tứ giác \(AKDF\) có \(\widehat {DFK} = \widehat {DAK}(cmt)\) mà hai góc này có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn \(DK\) dưới một góc không đổi nên \(AKDF\) là tứ giác không đổi.

\( \Rightarrow \widehat {AFD} + \widehat {AKD} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau).

Mà \(\widehat {AFD} = 90^\circ \) (do \(DF \bot AC\)) \( \Rightarrow 90^\circ  + \angle AKD = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {AKD} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BKD} = 90^\circ \).

Ta có \(DE \bot BC\) tại \(E\) \( \Rightarrow \widehat {DEB} = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(DKBE\) có \(\widehat {BKD} + \widehat {BED} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \) mà hai góc này đối nhau

Nên \(DKBE\) là tứ giác nội tiếp.

+ Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ADB} = \widehat {ACB}\) (cùng chắn cung \(AB\)) \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ECF}\)

Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {ECF} = \widehat {EDF}\) (cùng chắn cung \(EF\))

 \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {EDF}\).

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta FED\) có:

\( \Rightarrow \frac{{DA}}{{DF}} = \frac{{DB}}{{DE}} \Rightarrow DB.DF = DA.DE\,\,(dpcm)\).

c) Ta có

Ta có: \(I\) là trung điểm \(AB\) (gt) \( \Rightarrow AB = 2BI\), \(J\) là trung điểm \(EF\)\( \Rightarrow EF = 2EJ\)

Lại có \(\Delta ABD \sim \Delta FED(cmt) \Rightarrow \frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{BD}}{{DE}} \Rightarrow \frac{{2BI}}{{2EJ}} = \frac{{BD}}{{DE}}\) hay \(\frac{{BI}}{{EJ}} = \frac{{BD}}{{DE}}\).

Xét \(\Delta IBD\)và \(\Delta JED\)có:

\( \Rightarrow \widehat {BID} = \widehat {EJD} \Rightarrow \widehat {KID} = \widehat {KJD}\)

Tứ giác \(IKDJ\)có \(\widehat {KID} = \widehat {KJD}\,(cmt)\)mà hai góc này cùng nhìn \(DK\) dưới 1 góc không đổi nên \(IKDJ\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {IKD} + \widehat {IJD} = 180^\circ \) (tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {IKD} = 90^\circ \,\,\,\left( {do\,\,\widehat {BKD} = 90^\circ \left( {cmt} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {IJD} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \).

Vậy \(IJ \bot DJ\,\,(dpcm)\).