II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

 (1,0 điểm)

a) Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 6 < 2x \le 8} \right\}\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| {x + 1} \right| \le 2} \right\}\). Tìm tập hợp \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash \left( {{C_\mathbb{R}}B} \right)\).

b) Cho hai tập hợp \(A = \left[ {1;8} \right]\) và \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0} \right\}\), với \(m \in \mathbb{R}\). Tìm m để tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 6 < 2x \le 8} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 3 < x \le 4} \right\} = \left( { - 3;\,\,4} \right]\).

\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)\)

Xét \(\left| {x + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 1\)

\( \Rightarrow B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| {x + 1} \right| \le 2} \right\} = \left[ { - 3;\,\,1} \right]\).

\( \Rightarrow {C_\mathbb{R}}B = \left( { - \infty ;\,\, - 3} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

Vì vậy \(\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash \left( {{C_\mathbb{R}}B} \right) = \left\{ { - 3} \right\}\).

b) Tập \(B\) có đúng \(2\) tập con khi và chỉ khi tập \(B\) có đúng \(1\) phần tử, hay phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm thực. Do \(B \subset A\) nên \(1\) nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn \(\left[ {1;8} \right]\).

Xét phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\)

TH1: Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ {1;8} \right]\).

Vì vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu \(m \ne 0\) thì để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc \(\left[ {1;8} \right]\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) =  - 2{m^2} - m + 1 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m =  - 1\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)

Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có \(\frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3 \in \left[ {1;8} \right]\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với \(m = 1\) ta có \(\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{2}{1} = 1 \notin \left[ {1;8} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với \(m = 0\) và \(m = \frac{1}{2}\) thì tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).