(1 điểm) Một vệ tinh quay quanh Trái Đất, đang bay phía trên hai trạm quan sát của hai thành phố Hà Nội và Điện Biên. Khi vệ tinh nằm giữa hai trạm này, góc nâng của nó được quan sát đồng thời là \(40^\circ \) tại Hà Nội và \(85^\circ \) tại Điện Biên. Hỏi vệ tinh đó cách trạm quan sát Điện Biên bao xa? Biết rằng, khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 487 km.

Ta có \(3{x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x - {m^2} + 2m + 8 = 0 \Leftrightarrow x = m + 2\) hoặc \(x = \frac{{4 - m}}{3}\).

* Với  $m+2>\frac{4-m}{3}\iff 3m+6>4-m\iff m>-\frac{1}{2}$ ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow \frac{{4 - m}}{3} \le x \le m + 2\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {\frac{{4 - m}}{3};m + 2} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge \frac{{4 - m}}{3}}\\{1 \le m + 2}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 7}\\{m \ge - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp với điều kiện \(m > - \frac{1}{2}\) ta có \(m \ge 7\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

* Với \(m + 2 < \frac{{4 - m}}{3} \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}\) ta có

Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow m + 2 \le x \le \frac{{4 - m}}{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là \(\left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right]\)

Suy ra mọi \[x \in \left[ { - 1;1} \right]\] đều là nghiệm của bất phương trình (1)

khi và chỉ khi \[\left[ { - 1;1} \right] \subset \left[ {m + 2;\frac{{4 - m}}{3}} \right] \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 \ge m + 2}\\{1 \le \frac{{4 - m}}{3}}\end{array}} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le - 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m \le - 3\).

Kết hợp với điều kiện \(m < - \frac{1}{2}\) ta có \(m \le - 3\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Với \(m = - \frac{1}{2}\) ta có bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\) nên \(m = - \frac{1}{2}\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m \in ( - \infty ; - 3] \cup {\rm{[}}7; + \infty )\) là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(y = 2{x^2} + x - 3\) có hệ số \(a = 2 > 0\), do đó đồ thị hàm số này có bề lõm hướng lên trên, điểm thấp nhất của đồ thị là đỉnh. Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.

Tung độ của đỉnh là \(y = - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{1^2} - 4.2.\left( { - 3} \right)}}{{4.2}} = - \frac{{25}}{8}\).

Vậy hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất là \(\frac{{ - 25}}{8}\).