Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Một khu vườn hình tam giác \(ABC\) được bao quanh hàng rào. Chiều dài hàng rào \(AB = 13\;{\rm{m}}\), chiều dài hàng rào \(AC = 15\;{\rm{m}}\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \). Diện tích khu vườn là bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(BCD\), có

\(B{C^2} = C{D^2} + B{D^2} - 2CD \cdot DB \cdot \cos D = {500^2} + {400^2} - 2 \cdot 500 \cdot 400 \cdot \cos 122^\circ  \Rightarrow BC \approx 789\)(m).

Áp dụng định lí sin cho tam giác \(BCD\), có:

\(\frac{{BC}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} \Rightarrow \sin C = \frac{{BD \cdot \sin D}}{{BC}} = \frac{{400 \cdot \sin 122^\circ }}{{789}} \Rightarrow \widehat C \approx 25,5^\circ \).

Suy ra \(\widehat {ACB} = 138^\circ  - 25,5^\circ  = 112,5^\circ \).

Áp dụng định lí cô sin cho tam giác \(ABC\), có

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos C = {400^2} + {789^2} - 2 \cdot 400 \cdot 789 \cdot \cos 112,5^\circ  \Rightarrow AB \approx 1012\) (m).

Trả lời: 1012.

Lời giải

\(P = {\cos ^2}1^\circ  + {\cos ^2}2^\circ  + {\cos ^2}3^\circ  + ... + {\cos ^2}178^\circ  + {\cos ^2}179^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}179^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}178^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ  + {{\cos }^2}91^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\(P = \left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}1^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}2^\circ } \right) + ... + \left( {{{\cos }^2}89^\circ  + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \)

\[P = 2{\cos ^2}1^\circ  + 2{\cos ^2}2^\circ  + ... + 2{\cos ^2}89^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\cos }^2}89^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\cos }^2}88^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ  + {{\cos }^2}46^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2\left( {{{\cos }^2}1^\circ  + {{\sin }^2}1^\circ } \right) + 2\left( {{{\cos }^2}2^\circ  + {{\sin }^2}2^\circ } \right) + ... + 2\left( {{{\cos }^2}44^\circ  + {{\sin }^2}44^\circ } \right) + 2{\cos ^2}45^\circ  + {\cos ^2}90^\circ  + {\cos ^2}180^\circ \]

\[P = 2 \cdot 44 + 1 + 1 = 90\].

Trả lời: 90.