Một tổ học sinh gồm có 5 học sinh nữ và 7 học sinh nam, chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ?

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

Chọn \({a_1}({a_1} \ne 0)\): có \(6\) cách chọn

Ta có: \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Vậy có \(6.6!\) số

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

TH1: Chọn \({a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {1;2;3} \right\}\),\(({a_1} \ne 0)\)có \(3!\) cách chọn

Chọn \({a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có số cách chọn là số hoán vị của 4 phần tử còn lại: \(4!\) cách chọn

Do vậy ta được \(3!\).\(4!\)=144 số

TH2: Các số \(1;2;3\) nằm ở ba trong 4 vị trí \({a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có: \(4.3.2 = 24\) cách sắp xếp

Chọn \({a_1} \in \left\{ {4;5;6} \right\}\) có: 3 cách chọn

Còn 3 vị trí còn lại có số cách chọn là số hoán vị của 3 phần tử còn lại từ tập \(S\): \(3!\) cách chọn

Do vậy ta có: \(24.3.3! = 432\) số

Tổng cộng có 576 số

c) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6} \in S\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có: \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Do vậy ta có \(6!\) số

d) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

TH1: Chọn \({a_7} = 0\): có 1 cách chọn

Chọn \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Do vậy ta có \(6!\) số

TH2: Chọn \({a_7} \in \left\{ {2,4,6} \right\}\): có 3 cách chọn

Chọn \({a_1}({a_1} \ne 0;\,{a_1} \ne {a_7})\): có 5 cách chọn

Chọn \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 5 phần tử: \(5!\)

Do vậy ta có: \(3.5.5!\) số

Vậy tổng có: \(6! + 3.5.5!\)

a) Đúng: Không gian mẫu là tập tất cả các tập con gồm 5 viên bi từ 12 viên bi. Vậy số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega  \right) = C_{12}^5 = 792\].

b) Đúng: Chọn 5 bi xanh từ 7 bi xanh, có \[C_7^3 = 21\] (cách chọn) \[ \Rightarrow n\left( A \right) = 21\].

Vậy xác suất của biến cố \[A\] là \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{21}}{{792}} = \frac{7}{{264}}\].

c) Sai: Mỗi phần tử của \[B\] được hình thành từ 2 bước:

Bước 1: Chọn 3 viên bi xanh từ 7 viên bi xanh, có \[C_7^3 = 35\] (cách chọn).

Bước 2: Chọn 2 viên bi đỏ từ 5 viên bi đỏ, có \[C_5^2 = 10\] (cách chọn).

Theo quy tắc nhân, tập \[B\] có \[35.10 = 350\] (phần tử). Vậy \[n\left( B \right) = 350 \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{350}}{{792}} = \frac{{175}}{{396}}\].

d) Đúng: Trong 5 viên bi lấy được có ít nhất 3 bi đỏ, có 3 cách:

Cách 1: Trong \[5\] viên bi được chọn có 2 bi xanh và 3 bi đỏ: có \[\mathop C\nolimits_7^2 .\mathop C\nolimits_5^3  = 210\] (cách chọn)

Cách 2: Trong \[5\] viên bi được chọn có 1 bi xanh và 4 bi đỏ: có \[C_7^1.C_5^4 = 35\] (cách chọn).

Cách 3: Trong \[5\] viên bi được chọn có 0 bi xanh và 5 bi đỏ: có \[C_7^0.C_5^5 = 5\] (cách chọn).

Theo quy tắc cộng, tập \[C\] có \[210 + 35 + 5 = 250\] (phần tử).

Vậy \[n\left( C \right) = 250 \Rightarrow P\left( C \right) = \frac{{250}}{{792}} = \frac{{125}}{{396}}\].