Tổng chi phí \(T\) (nghìn đồng) để sản xuất \(n\) sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T = {n^2} + 70n + 3000\). Giá bán của một sản phẩm là \(200\) nghìn đồng. (Giả sử các sản phẩm sản xuất ra đều được bán hết). Khi đó:

a) Số sản phẩm được sản xuất phải lớn hơn \(100\) thì sẽ bị lỗ.

b) Số sản phẩm được sản xuất phải lớn hơn \(50\) thì sẽ không bị lỗ.

c) Số sản phẩm được sản xuất phải trong đoạn \(\left[ {50;130} \right]\) thì sẽ không bị lỗ.

d) Số sản phẩm được sản xuất phải trong đoạn \(\left[ {30;100} \right]\) thì sẽ không bị lỗ.

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

Chọn \({a_1}({a_1} \ne 0)\): có \(6\) cách chọn

Ta có: \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Vậy có \(6.6!\) số

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

TH1: Chọn \({a_1};{a_2};{a_3} \in \left\{ {1;2;3} \right\}\),\(({a_1} \ne 0)\)có \(3!\) cách chọn

Chọn \({a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có số cách chọn là số hoán vị của 4 phần tử còn lại: \(4!\) cách chọn

Do vậy ta được \(3!\).\(4!\)=144 số

TH2: Các số \(1;2;3\) nằm ở ba trong 4 vị trí \({a_4};{a_5};{a_6};{a_7}\) có: \(4.3.2 = 24\) cách sắp xếp

Chọn \({a_1} \in \left\{ {4;5;6} \right\}\) có: 3 cách chọn

Còn 3 vị trí còn lại có số cách chọn là số hoán vị của 3 phần tử còn lại từ tập \(S\): \(3!\) cách chọn

Do vậy ta có: \(24.3.3! = 432\) số

Tổng cộng có 576 số

c) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6} \in S\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Ta có: \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Do vậy ta có \(6!\) số

d) Sai: Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}{a_7}} \) trong đó \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6};{a_7} \in S\)

TH1: Chọn \({a_7} = 0\): có 1 cách chọn

Chọn \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 6 phần tử: \(6!\)

Do vậy ta có \(6!\) số

TH2: Chọn \({a_7} \in \left\{ {2,4,6} \right\}\): có 3 cách chọn

Chọn \({a_1}({a_1} \ne 0;\,{a_1} \ne {a_7})\): có 5 cách chọn

Chọn \({a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}\) có số cách chọn là số hoán vị của 5 phần tử: \(5!\)

Do vậy ta có: \(3.5.5!\) số

Vậy tổng có: \(6! + 3.5.5!\)

Tổng số học sinh là: \(5 + 7 = 12\)

Gọi \(A\) là biến cố trong hai học sinh được chọn, có cả học sinh nam và học sinh nữ. Ta có:

\(n\left( \Omega  \right) = C_{12}^2\)

\(n\left( A \right) = C_5^1.C_7^1\)

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^1.C_7^1}}{{C_{12}^2}} = \frac{{35}}{{66}}\).