Số hạng chứa \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}}\] với \[x \ne 0\], biết \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\].

Hướng dẫn giải

Gọi số tạo thành có dạng \[x = \overline {abc} \] với \[a,\,b,\,c\] đôi một khác nhau và lấy từ \[A\].

Chọn một vị trí \[a,\,b\] hoặc \[c\] cho số \[3\] có \[3\] cách chọn.

Chọn hai chữ số khác \[3\] từ \[A\] và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của \[x\] có \[A_4^2\] cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: \[3.A_4^2 = 36\] cách chọn.

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có \[36\] số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(A\) là biến cố để An và Bình chung nhóm.

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5\).

Nếu An và Bình ở chung nhóm thứ nhất thì có: \(C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5\) cách.

Nếu An và Bình ở chung nhóm thứ hai thì có: \(C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5\) cách.

Nếu An và Bình ở chung nhóm thứ ba thì có: \(C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5\) cách.

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 3.C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{3.C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5}}{{C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5}} = \frac{2}{7}\).