(2,0 điểm)

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \((O)\). Các đường cao \(BD\) và \(CE\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(BCDE\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(AE\,.\,AB = AD\,.\,AC\)

c) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AH\). Gọi \(K,\,\,L\)lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng \(OM\) và \(CE\), \(MN\) và \(BD\).

Chứng minh \(\widehat {MLB}\,\, = \,\,\widehat {MKB}\)

a) Chứng minh tứ giác \(BCDE\) nội tiếp đường tròn.

Ta có: \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

\(\Delta BCD\) vuông tại \(D\) nên nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

Suy ra tứ giác \(BCDE\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BC\).

b) Chứng minh \(AE\,.\,AB = AD\,.\,AC\)

+) Xét hai \(\Delta AED\) và \(\Delta ACB\):

- Vì tứ giác \(BCDE\) nội tiếp nên\(\widehat {BED} + \widehat {BCD} = {180^O}\)

- Lại có \(\widehat {BED} + \widehat {DEA} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {DEA}\);  \(\widehat {BAC}\) chung

+) nên

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow AE.AB = AD.AC\)

Cách 2: Xét hai tam giác vuông \(\Delta ADB\) và \(\Delta AEC\):

Có \(\widehat {BAC}\) chung nên  (góc nhọn).

c) Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AH\). Gọi \(K,\,\,L\)lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng \(OM\) và \(CE\), \(MN\) và \(BD\).

Chứng minh \(\widehat {MLB}\,\, = \,\,\widehat {MKB}\)

+) Gọi \(I\) là giao điểm của \(ED\) và \(MN\) suy ra \(MN\) là trung trực của \(ED\) (do \(MD = ME\) và \(ND = NE\)).

+) Xét \(\Delta IDL\) và \(\Delta MCK\) có:  \(\widehat {IDL} = \widehat {EDH} = \widehat {ECB}\).

Nên  

Suy ra \({\widehat K_2} = {\widehat L_2}\). Mà \({\widehat K_1} = {\widehat K_2}\) và \({\widehat L_1} = {\widehat L_2}\).

Do đó \({\widehat K_1} = {\widehat L_1}\). 

Vậy: \(\widehat {MLB} = \widehat {MKB}\)