Cho ba số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(a(a - c) + b(b - c) \ge 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biều thức \(S = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + {c^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{{{a^2} + {b^2} + 2025}}{{a + b}}\).

a) Chứng minh tứ giác \(AMON\)là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(G\) là trung điểm của \(AO.\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(AM\) là tiếp tuyến tại \(M\) (GT) nên \(AM \bot OM\) tại \(M \Rightarrow \widehat {AMO} = 90^\circ \)

Suy ra \(\Delta AMO\) nội tiếp đường tròn tâm \(G\) đường kính \(AO\)

Suy ra \(A,M,O \in \left( {G;\frac{{AO}}{2}} \right)\,\,\left( 1 \right)\)

Xét \((O)\) có \(AN\) là tiếp tuyến tại \(N\) (GT) nên \(AN \bot ON\) tại \(N \Rightarrow \widehat {ANO} = 90^\circ \)

Suy ra  \(\Delta ANO\) nội tiếp đường tròn tâm \(G\) đường kính \(AO\)

Suy ra \(A,N,O \in \left( {G;\frac{{AO}}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(A,M,N,O \in \left( {G;\frac{{AO}}{2}} \right)\)

Do đó tứ giác\(AMNO\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(G\) đường kính \(AO\).

Vậy tứ giác\(AMNO\) là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \(G\) đường kính \(AO\).

b) Xét tam giác \(AMO\) vuông tại \(M\) có \(AM = \sqrt {O{A^2} - O{M^2}}  = \sqrt {{{\left( {3R} \right)}^2} - {R^2}}  = 2\sqrt 2 R.\)

Theo giả thiết \(AM,\,AN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O;\,R} \right)\) nên \(AO\) là đường trung trực của \(MN\). Do đó \(AO \bot MN\) tại \(H\).

 Vậy \[AH = \frac{8}{3}R.\]

c) Ta có \(OH = AO - AH = 3R - \frac{{8R}}{3} = \frac{R}{3}.\)

Xét tam giác \(AMH\) vuông tại \(H\) có \(MH = \sqrt {A{M^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 R} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{8R}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\)  

Từ đó \(MN = 2MH = \frac{{4\sqrt 2 R}}{3}.\)

Ta có \({S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}AH.MN = \frac{1}{2}.\frac{{8R}}{3}.\frac{{4\sqrt 2 R}}{3} = \frac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9}.\)

Hạ \(FI \bot MN\) tại \(I.\)ta có:

\({S_{AMFN}} = {S_{\Delta AMN}} + {S_{\Delta FMN}} = \frac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9} + \frac{1}{2}.MN.FI = \frac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9} + \frac{1}{2}.\frac{{4\sqrt 2 R}}{3}.FI\)

\( = \frac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9} + \frac{{2\sqrt 2 R}}{3}.FI\)

Do đó \({S_{AMFN}}\) lớn nhất khi\(FI\) lớn nhất.

Trong tam giác\(FIH\) vuông tại\(I\), ta có:  \(FI \le FH\)

mà \(FH \le OF + OH = R + \frac{R}{3} = \frac{{4R}}{3}\) nên \(FI \le \frac{{4R}}{3}.\)

Từ đó \(FI\) lớn nhất bằng \(\frac{{4R}}{3}\) khi \(d\) đi qua tâm \(O\).

Vậy \({S_{AMFN}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng \({S_{AMFN}} = \frac{{16\sqrt 2 {R^2}}}{9} + \frac{{2\sqrt 2 R}}{3}.\frac{{4R}}{3} = \frac{{8\sqrt 2 {R^2}}}{3}\) khi \(d\) đi qua tâm \(O\).

Chọn C

* Gọi \(R\) là bán kính đường tròn.

\(M\) là trung điểm \(AB\)

\(AM = 4{\kern 1pt} cm\)

Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(AB\) là \(OM = 3{\kern 1pt} cm\).

Tam giác vuông \(OMA\) có:

\(O{A^2} = O{M^2} + A{M^2} = {3^2} + {4^2} = 9 + 16 = 25 \Rightarrow OA = 5{\kern 1pt} cm\)→ Bán kính \(R = 5{\kern 1pt} cm\)

Chu vi đường tròn:

\(C = 2\pi R = 2\pi  \cdot 5 = 10\pi {\kern 1pt} cm\)

 Đáp án đúng: C. \(10\pi {\kern 1pt} cm\)