Khi thả chìm hoàn toàn một viên xúc xắc nhỏ hình lập phương vào một ly nước có dạng hình trụ thì người ta thấy nước trong ly dâng lên \[0,5\] cm và không tràn ra ngoài. Biết diện tích đáy của ly nước bằng \[250\] \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Tìm độ dài cạnh của viên xúc xắc?

Ta có \(MB = MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

\(OB = OC\) (cùng bằng bán kính của \(\left( O \right)\)

Suy ra \[OM\] là trung trực của \[BC\]. Suy ra \(MO \bot BC\) tại H .

Do MB là tiếp tuyến nên \(MB \bot OB\) suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {MHB} = 90^\circ \)

Kết hợp với \(\widehat {BMO}\) chung suy ra  (g.g)

Khi đó \(\frac{{MB}}{{MO}} = \frac{{MH}}{{MB}}\) hay \[M{B^2} = MH.MO\]       \(\left( 1 \right)\)

Do \(OB = OE\) nên \(\Delta OBE\) cân tại O suy ra \[\widehat {BOE} = 180^\circ  - 2\widehat {OBE}\]

Suy ra \(\widehat {BFE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ  - 2\widehat {OBE}} \right) = 90^\circ  - \widehat {OBE} = \widehat {MBE}\)

Xét \(\Delta MBE\) và \(\Delta MFB\) có \(\widehat {FMB}\) chung và \(\widehat {MBE} = \widehat {BFM}\) (cmt)

Suy ra  (g.g) nên \(\frac{{MB}}{{MF}} = \frac{{ME}}{{MB}}\) hay \(M{B^2} = ME.MF\)    \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(MH.MO = ME.MF\) (đpcm)

Gọi \(x,y\) lần lượt là số thí sinh làm 2 tờ giấy và 3 tờ giấy kiểm tra (tờ) \(\left( {0 < x,y < 21} \right)\)

                  Phòng kiểm tra của trường có 24 thí sinh dự kiểm tra nên ta có: \(x + y + 3 = 24\)

                     Cuối buổi kiểm tra, sau khi thu bài, giám thị coi kiểm tra đếm được tổng số tờ là 53 tờ giấy kiểm tra nên ta có: \(2x + 3y + 3 = 53\)

                     Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 3 = 24}\\{2x + 3y + 3 = 53}\end{array}} \right.\)

                     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 21}\\{2x + 3y = 50}\end{array}} \right.\)

                      \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 13}\\{y = 8}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

                  Vậy có 13 học sinh làm 2 tờ giấy kiểm tra, 8 học sinh làm 3 tờ giấy kiểm tra.