Khi thả chìm hoàn toàn một viên xúc xắc nhỏ hình lập phương vào một ly nước có dạng hình trụ thì người ta thấy nước trong ly dâng lên \[0,5\] cm và không tràn ra ngoài. Biết diện tích đáy của ly nước bằng \[250\] \({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Tìm độ dài cạnh của viên xúc xắc?

Gọi \(x,y\) lần lượt là số thí sinh làm 2 tờ giấy và 3 tờ giấy kiểm tra (tờ) \(\left( {0 < x,y < 21} \right)\)

                  Phòng kiểm tra của trường có 24 thí sinh dự kiểm tra nên ta có: \(x + y + 3 = 24\)

                     Cuối buổi kiểm tra, sau khi thu bài, giám thị coi kiểm tra đếm được tổng số tờ là 53 tờ giấy kiểm tra nên ta có: \(2x + 3y + 3 = 53\)

                     Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 3 = 24}\\{2x + 3y + 3 = 53}\end{array}} \right.\)

                     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 21}\\{2x + 3y = 50}\end{array}} \right.\)

                      \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 13}\\{y = 8}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

                  Vậy có 13 học sinh làm 2 tờ giấy kiểm tra, 8 học sinh làm 3 tờ giấy kiểm tra.

Xét phương trình \(2{x^2} + 4x - 5 = 0\) có \(\Delta  = {4^2} - 4.2.\left( { - 5} \right) = 56 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\); \({x_2}\).

                 Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - \frac{4}{2} =  - 2}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{ - 5}}{2}}\end{array}} \right.\)

                   Ta có:           \(T = \frac{{2{x_1} - 1}}{{{x_2}}} + \frac{{2{x_2} - 1}}{{{x_1}}} + 2026\)

                                        \( = \frac{{{x_1}\left( {2{x_1} - 1} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{{{x_2}\left( {2{x_2} - 1} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{{2026{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

                                        \( = \frac{{2x_1^2 - {x_1} + 2x_2^2 - {x_2} + 2026{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

                                        \( = \frac{{\left( {2x_1^2 + 4{x_1}{x_2} + 2x_2^2} \right) - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2022{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

                                        \( = \frac{{2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2022{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

                                        \( = \frac{{2 \cdot {{( - 2)}^2} - \left( { - 2} \right) + 2022 \cdot \left( {\frac{{ - 5}}{2}} \right)}}{{\frac{{ - 5}}{2}}}\)

                                        \( = \frac{{8 + 2 - 5055}}{{\frac{{ - 5}}{2}}} = 2018\)

                     Vậy \(T = 2018\)