Cho tam giác \(ABC\) nhọn \(\left( {AB > AC} \right)\), nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(M\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OM\) và \(BC\). Từ \(M\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\), đường thẳng này cắt \(\left( O \right)\) tại \(E\) và \(F\) (\(E\) thuộc cung nhỏ \(BC\)). Chứng minh: \(MO \bot BC\) và \(ME.MF = MH.MO\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số thí sinh làm 2 tờ giấy và 3 tờ giấy kiểm tra (tờ) \(\left( {0 < x,y < 21} \right)\)

                  Phòng kiểm tra của trường có 24 thí sinh dự kiểm tra nên ta có: \(x + y + 3 = 24\)

                     Cuối buổi kiểm tra, sau khi thu bài, giám thị coi kiểm tra đếm được tổng số tờ là 53 tờ giấy kiểm tra nên ta có: \(2x + 3y + 3 = 53\)

                     Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + 3 = 24}\\{2x + 3y + 3 = 53}\end{array}} \right.\)

                     \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 21}\\{2x + 3y = 50}\end{array}} \right.\)

                      \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 13}\\{y = 8}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

                  Vậy có 13 học sinh làm 2 tờ giấy kiểm tra, 8 học sinh làm 3 tờ giấy kiểm tra.

Diện tích đáy của li nước là \(250\;\)\({\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) nên ta có thể tích nước dâng lên là:

                  \(V = 0,5.250 = 125\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

                     Gọi \(x\) \[\left( {{\rm{cm}}} \right)\] là độ dài cạnh của viên xúc xắc, thể tích viên xúc xắc là: \({x^3}\)

                  Thề tích viên xúc xắc bằng thể tích nước dâng lên, nên ta có:

                  \({x^3} = 125\) suy ra \(x = \sqrt[3]{{125}} = 5\) \[\left( {{\rm{cm}}} \right)\]

                     Vậy cạnh của con xúc xắc bằng 5 cm .