Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn \[xyz = \frac{1}{8}\]. Chứng minh rằng

\[\frac{1}{{xy + yz + zx}} - \frac{1}{{x + y + z}} \le \frac{2}{3}\].

Biến đổi pt ở đầu bài ta được(y+1)(y+2) = x4 + x2 + 20

Ta thấy x4 + x2 < x4 + x2 + 20 \[ \le \] x4 + x2 + 20 + 8 x2

\[ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) < \left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) \le \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\]

Vì x, y là các số nguyên nên ta xét các TH sau:

TH1:

 \[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 3{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = 18 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3\end{array}\]

Thế vào pt đã cho ta có \[{y^2} + 3y - 108 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 9\\y =  - 12\end{array} \right.(t/m)\]

TH2:

\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 5{x^2} + 6\\ \Leftrightarrow 4{x^2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{7}{2}(loai)\end{array}\]

TH3:

\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 7{x^2} + 12\\ \Leftrightarrow 6{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3}(loai)\end{array}\]

TH4:

\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 9{x^2} + 20\\ \Leftrightarrow 8{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0(t/m)\end{array}\]

Khi đó \[{y^2} + 3y - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 6\\y = 3\end{array} \right.(t/m)\]

Vậy pt đã cho có 6 nghiệm nguyên

(x;y) = (3;9), (3, -12), (-3, 9), (-3;-12); (0, -6), (0;3)