Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và các đường cao AD, BE, CF. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên EF và ED. Hai đường thẳng IK và AD cắt nhau tại M. Hai đường thẳng FM và DE cắt nhau tại N. Gọi S là điểm đối xứng của B qua D. Chứng minh ba điểm A, N, S thẳng hàng.
Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và các đường cao AD, BE, CF. Gọi I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên EF và ED. Hai đường thẳng IK và AD cắt nhau tại M. Hai đường thẳng FM và DE cắt nhau tại N. Gọi S là điểm đối xứng của B qua D. Chứng minh ba điểm A, N, S thẳng hàng.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Do BE là phân giác trong góc FED nên HK = HI
\[ \Rightarrow \widehat {HKM} = \widehat {HIM\;\;}\;\;\;\;(1)\]
Ta có \[\widehat {MHF} = 90^\circ - \widehat {FAH} = 90^\circ - \widehat {FEH} = 90^\circ - \widehat {IEH}\]
Và \[\widehat {KIE} = 90^\circ - \widehat {IEH} \Rightarrow \widehat {MHF} = \widehat {KIE}\]
Do đó tứ giác FIMH nội tiếp \[ \Rightarrow \widehat {HIM} = \widehat {HFM}\] (2)Do tứ giác FIMH nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {FMH} = \widehat {HIF} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {HMN} = 90^\circ \]
và \[\widehat {HKN} = 90^\circ \]nên tứ giác HMNK nội tiếp
\[ \Rightarrow \widehat {HNM} = \widehat {HKM}\] (3)Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {HNM} = \widehat {HFM}\]nên FHN cân tại H có đường cao MH
\[ \Rightarrow \]MF = MN \[ \Rightarrow \]FAN cân tại A
Từ đó ta chứng minh được A, N, S thẳng hàng.Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Biến đổi pt ở đầu bài ta được(y+1)(y+2) = x4 + x2 + 20
Ta thấy x4 + x2 < x4 + x2 + 20 \[ \le \] x4 + x2 + 20 + 8 x2
\[ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 1} \right) < \left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) \le \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\]
Vì x, y là các số nguyên nên ta xét các TH sau:
TH1:
\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 3{x^2} + 2\\ \Leftrightarrow 2{x^2} = 18 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\end{array}\]
Thế vào pt đã cho ta có \[{y^2} + 3y - 108 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 9\\y = - 12\end{array} \right.(t/m)\]
TH2:
\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 5{x^2} + 6\\ \Leftrightarrow 4{x^2} = 14 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{7}{2}(loai)\end{array}\]
TH3:
\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 7{x^2} + 12\\ \Leftrightarrow 6{x^2} = 8 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3}(loai)\end{array}\]
TH4:
\[\begin{array}{l}\left( {y + 1} \right)\left( {y + 2} \right) = \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 5} \right)\\ \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 20 = {x^4} + 9{x^2} + 20\\ \Leftrightarrow 8{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0(t/m)\end{array}\]
Khi đó \[{y^2} + 3y - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 6\\y = 3\end{array} \right.(t/m)\]
Vậy pt đã cho có 6 nghiệm nguyên
(x;y) = (3;9), (3, -12), (-3, 9), (-3;-12); (0, -6), (0;3)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đặt p = x+y+z; q = xy + yz + zx
Điều cần cm trở thành \[\frac{1}{q} - \frac{1}{p} \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow q \ge \frac{{3p}}{{2p + 3}}\]
Mà \[{\left( {xy + yz + zx} \right)^2} \ge 3xyz\left( {x + y + z} \right) = \frac{3}{8}\left( {x + y + z} \right) \Leftrightarrow {q^2} \ge \frac{3}{8}p\]
Nên ta chỉ cần cm \[\frac{3}{8}p \ge {\left( {\frac{{3p}}{{2p + 3}}} \right)^2}\]
Thật vậy \[\frac{3}{8}p \ge {\left( {\frac{{3p}}{{2p + 3}}} \right)^2} \Leftrightarrow 4{p^2} - 12p + 9 \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {2p - 3} \right)^2} \ge 0\] (Luôn đúng). Suy ra đpcm.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập