Trong không gian \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:5x - 2y + 2024 = 0\).

Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Ta có \(AH \bot BC\).

Ta có \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(BC\).

Suy ra \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(BC\).

Lại có \(AH \bot BC\) nên \(AH\) nhận \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó đường thẳng \(AH\) có phương trình là \( - \left( {x + 1} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 1 = 0\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 4 = 0\\ - x + y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\y = - \frac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{{ - 5}}{2}} \right)\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\) nên \(I\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{9}{4}} \right)\).

Đường trung bình D ứng với cạnh đáy \(BC\) có dạng \(x + y + c = 0\).

Lại có \(\Delta \) đi qua \(I\) nên \( - \frac{5}{4} - \frac{9}{4} + c = 0 \Rightarrow c = \frac{7}{2}\).

Vậy \(\Delta :x + y + \frac{7}{2} = 0\) hay \(\Delta :2x + 2y + 7 = 0\)

Vì \(d//\Delta \) nên \(d:2x - y + c = 0,c \ne 1\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) nên \(2 \cdot 1 - \left( { - 2} \right) + c = 0 \Rightarrow c = - 4\).

Vậy \(d:2x - y - 4 = 0\). Suy ra \(b = - 1;c = - 4\).

Vậy \(T = 2b + c = - 6\).