Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) trong mỗi trường hợp sau:

(E) đi qua \(M(5;0)\) và \(N\left( {\frac{{5\sqrt {15} }}{4};1} \right)\).

Các hành tinh và các sao chổi khi chuyển động xung quanh mặt trời có quỹ đạo là một đường elip trong đó tâm mặt trời là một tiêu điểm. Điểm gần mặt trời nhất gọi là điểm cận nhật, điểm xa mặt trời nhất gọi là điểm viễn nhật. Trái đất chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là một đường elip có độ dài nửa trục lớn bằng \(93.000.000\) dặm. Tỉ số khoảng cách giữa điểm cận nhật và điểm viễn nhật đến mặt trời là \(\frac{{59}}{{61}}\). Tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điểm cận nhật. Lấy giá trị gần đúng.

Một elip với bán trục lớn \(a\) và bán tiêu cự \(c\) tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) được gọi

là tâm sai của elip. Quỹ đạo của trái đất quanh mặt trời là một elip \((E)\) trong đó mặt trời là một trong các tiêu điểm. Biết khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa mặt trời và trái đất lần lượt là 147 triệu km, 152 triệu \(km\). Tính tâm sai của elip (E)?

Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip đi qua điểm \(M(2\sqrt 3 ;2)\) và \(M\) nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông.

Trên mặt phẳng, cho tam giác \(ABC\) có \(A( - 2; - 2),B( - 2;2),C(6;2)\).

Tìm tập hợp tất cả các điểm \(M\) thỏa mãn hệ thức \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} | + |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} | = 12\).

Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm \(A\) và \(B\) thuộc \((E)\) có hoành độ dương sao cho tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và có diện tích lớn nhất.

Cho hypebol \((H)\)có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a,b > 0)\), đi qua điểm \(A(\sqrt 3 ;0)\) và có một tiêu điểm \({F_1}( - 2;0)\). Khi đó: