Viết phương trình chính tắc của elip \((E)\) trong mỗi trường hợp sau:

(E) đi qua \(M(5;0)\) và \(N\left( {\frac{{5\sqrt {15} }}{4};1} \right)\).

Ta có \(a = 93.000.000\)

Và \(\frac{{a - c}}{{a + c}} = \frac{{59}}{{61}} \Leftrightarrow 61a - 61c = 59a + 59c \Leftrightarrow c = \frac{a}{{60}} = \frac{{93.000.000}}{{60}} = 1.550.000\).

Suy ra khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điêm cận nhật là: \(a - c = 91.450.000\) dặm.

Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)\).

Gọi hai tiêu điểm \((E)\) là \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

Khi đó: \({\overrightarrow {MF} _1} = ( - c - 2\sqrt 3 ; - 2),\overrightarrow {M{F_2}}  = (c - 2\sqrt 3 ; - 2)\).

Ta có: \(M{F_1} \bot M{F_2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {MF} _1} \cdot \overrightarrow {M{F_2}}  = 0 \Leftrightarrow ( - c - 2\sqrt 3 )(c - 2\sqrt 3 ) + 4 = 0 \Leftrightarrow {c^2} = 16\).

Suy ra \({a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow {a^2} = 16 + {b^2}\left( * \right)\)

Hơn nữa \((E)\) qua \(M(2\sqrt 3 ;2)\) nên \(\frac{{12}}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{12}}{{{b^2} + 16}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1(\) do \((*))\) \( \Leftrightarrow 12{b^2} + 4{b^2} + 64 = {b^4} + 16{b^2} \Leftrightarrow {b^4} = 64 \Leftrightarrow {b^2} = 8\). Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 24\).

Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc \((E):\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).